(Q)Sommiamo i fattoriali ***
Abbiamo la seguente relazione:
abc = a! + b! + c!
Sappiamo che
(1) a, b e c sono numeri interi positivi composti da una sola cifra
(2) abc NON è un prodotto, ma è un numero composto nel giusto ordine dalle singole cifre x, y e z.
(3) a, b e c possono anche essere cifre uguali tra loro.
Quali sono gli unici valori di a, b e c che soddisfano la relazione ?
QUI la soluzione
2 commenti
Questo è il mio ragionamento visibile selezionandolo
Elenco i fattoriali: 1 1 2 6 24 120 720 5040
x,y,z<6 perchè 7!>999 e 6!=720 contiene già una cifra maggiore o uguale a 7.
Se x non è 0, allora uno dei numeri è 5 per ottenere un numero >100.
Ci può essere un solo 5 perchè 5!+5!+5!=360, e 5!+5!=240 che richiede ci sia il 2, ma 5!+5!+2!=242.
Un solo 5 implica che 122=<xyz<=168, quindi un'altra cifra è 1. Siamo come somma a 121.
Vedo che 4!=24 produce il 5 come ultima cifra. Provo 121+4!=121+24=145.
Quindi x=1, y=4, z=5.
Non ho verificato se ci sono soluzioni con x=0.
Caro Enzo,
per il mio ragionamento mi sono fatto aiutare dal........crivello di Eratostene!
Escludo 7! = 5040 perché è un numero di 4 cifre, quindi gli elementi da considerare vanno da 1 a 6 (tralascio per adesso 0! = 1!):
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
Inizio componendo una prima tabella di 36 triple partendo dalla prima possibile che è 111:
111 121 122 132 142 152 162
112 131 123 133 143 153 163
113 141 124 134 144 154 164
114 151 125 135 145 155 165
115 161 126 136 146 156 166
116
per adesso mi fermo qui perché mutando di posizione i termini della terna, la somma dei singoli fattoriali non muta (1!+2!+5! = 5!+2!+1! = 1!+5!+2! = 2!+5!+1! = 2!+1!+5! = 5!+1!+2!);
“singolarizzo” le terne che contengono 2 cifre uguali e una differente (es. 112 e 121 perché 1!+1!+2! = 1!+2!+1!):
111 121 122 132 142 152 162
131 133 143 153 163
141 144 154 164
151 155 165
161 156 166
116
le terne che contengono il 6 le escludo perché 6! = 720 e il 7 (come l’8 e il 9) è fuori range,
(come le terne che contengono due volte il 6 perché 6!+6! = 1440 che è un numero di 4 cifre):
111 121 122 132 142 152
131 133 143 153
141 144 154
151 155
le terne le cui singole cifre fattoriali sommano un numero minore di 3 cifre (111, 121, 122, 131, 132, 133, 141, 142, 143, 144) le escludo:
152
153
154
151 155
Con ciò che rimane inizio a calcolare:
1!+5!+1! = 122 NO
1!+5!+2! = 123 NO
1!+5!+3! = 127 NO
1!+5!+4! = 145 , e qui mi fermo e scambio i “posti occupati”: 1! + 4! + 5! = 145
Ma dato che nel quiz è specificato che la soluzione è unica, non procedo oltre, per cui:
x = 1, y = 4, z = 5.