Questo articolo è inserito nella sezione d'archivio "I Numeri Primi"

Risposto alla prima domanda (quanti sono i numeri primi) in modo inequivocabile, si è passati alla terza domanda: come cercarli? Solo attraverso questa risposta è veramente possibile rispondere anche alla seconda: quali sono?

Un contributo importante lo si deve ad Eratostene (proprio quello della circonferenza terrestre e del dromedario) che utilizzò il cosiddetto "crivello", ossia, dati n numeri interi da 2 a n, basta eliminare tutti i multipli di questi numeri. Quelli che rimangono devono essere primi, dato che se non lo fossero  avrebbero come divisori numeri primi già passati... al setaccio. Un metodo concettualmente perfetto che, tuttavia, non può certo estendersi a numeri troppo grandi. Per saperne di più potete andare QUI.

Si era arrivati alla forza bruta, ossia alla ripetizione continua della scomposizione dei numeri interi in fattori primi. Un lavoro mostruoso per i tempi antichi, che, però, oggi non ha gravi problemi dato che i computer hanno la velocità e la forza "bruta" necessarie. Le operazioni richieste dal crivello possono essere svolte rapidamente attraverso programmi estremamente semplici. La Scienza, però, ha sempre cercato di evitare procedimenti ripetitivi che ben poco aggiungono alla vera conoscenza del problema. E così la ricerca di un metodo matematico che permettesse di calcolare solo i numeri primi è diventato un grande problema, affrontato da grandi menti.

Oltretutto, scovare un metodo matematico che permettesse l'0ttenimento diretto di un nuovo numero primo, avrebbe anche svelato, in parte, la loro vera essenza e la loro altalenante presenza all'interno dei numeri interi. In altre parole, come si sistemavano all'interno dell'insieme dei numeri interi li avrebbe sicuramente resi meno "soli".

Purtroppo, malgrado le menti che si sono cimentate in questo tentativo, ancora oggi ci si affida al computer...

Dopo Eratostene la solitudine dei numeri primi aumenta sempre più dato che si entra in un lungo periodo in cui l'intelletto umano è brutalmente frenato nella sua ricerca di novità e fantasia. Nel lungo medioevo non è che manchino le persone di grande intelletto, ma proprio questa dote li costringe a tacere. Il medioevo è sicuramente ricco di spunti innovativi e lo si vede nelle meravigliose opere artistiche del periodo romanico e gotico, ma guai a cercare di cambiare ciò che la religione impone come atto di fede.

Dobbiamo aspettare il Rinascimento per iniziare a vedere capacità intellettuali unite a forza e a coraggio. Nel campo dei numeri, fondamentale è stato il matematico francese Pierre de Fermat che, però, aveva la brutta abitudine di non dimostrare molte delle sue conclusioni, anche se dichiarava di averlo fatto.

I numeri primi tornano di moda proprio con lui che afferma che la seguente formula è capace di determinare solo numeri primi:

Egli non dà nessuna dimostrazione, ma non dice nemmeno che questa formula regala TUTTI i numeri primi. Dice soltanto che un numero ottenuto con tale formula è un numero primo. In realtà, tutto sembra funzionare:

n = 1

F₁ = 2² + 1 = 5                  OK

n = 2

F₂ = 2⁴ + 1 = 17                OK

n = 3

F3 = 2⁸ + 1 = 257            OK

n = 4

F4 = 2¹⁶ + 1 = 65537      OK

Beh... a questo punto i calcoli cominciano a essere molto pesanti senza un PC, ma sembra che Fermat abbia ragione. Purtroppo no! E chi lo prova è Eulero, un altro grande matematico, che si dedicò anch'egli ai numeri primi, come vedremo in seguito. Infatti...

n = 5

F5 = 2³² + 1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417            COMPOSTO !

Oggi è possibile andare molto oltre, ma nessun numero primo di Fermat successivo a n = 5 è risultato primo. Insomma, la formula di Fermat ha prodotto solo 4 numeri primi...

Un primo tentativo andato a vuoto, anche se Fermat ha dimostrato altre proprietà dei numeri primi che, comunque, evitiamo, almeno per adesso, altrimenti si entra in un ginepraio senza uscita.

continua...