Questo articolo è inserito nella pagina d'archivio Dinamica e Meccanica (in Fisica Classica)

 

Ne abbiamo parlato spesso, ma quasi sempre in modo qualitativo (ad esempio QUI). E' giunta l'ora di calcolarle in modo quantitativo e, poco male, se torneremo su argomenti parzialmente già trattati, come la velocità di fuga e i moti orbitali dei satelliti artificiali.

Dovremmo tornare al nostro Newton, posto su una montagna, mentre lancia pietre a tutto spiano cercando di non farle cadere al suolo. Più o meno è proprio quello che faremo con ambizioni... maggiori. Per far questo definiamo le tre velocità a cui vogliamo lanciare le pietre:

La prima velocità cosmica, v₁, è la velocità che un corpo deve avere per entrare in orbita circolare attorno ad un corpo celeste, ad una certa distanza dal suo centro.

La seconda velocità cosmica, v₂, detta anche velocità di fuga, è la velocità minima che un corpo deve avere per potersi allontanare indefinitamente dal campo gravitazionale in cui è immerso.

La terza velocità cosmica, v₃, è la velocità minima che un corpo, che rivolve attorno a uno più grande, deve avere per potere abbandonare anche il suo campo gravitazionale. In astrodinamica è la velocità che un corpo deve avere per poter abbandonare indefinitamente il Sistema Solare.

Prima di iniziare va fatta una precisazione: un razzo potrebbe allontanarsi ad una velocità qualunque se possedesse un suo sistema di propulsione, ossia se fosse in grado di accelerare durante il volo. Tuttavia, a noi interessano le velocità che sono necessarie, per ottenere i vari scopi appena definiti, attraverso un'unica accelerazione iniziale, ossia impartendogli solo una forza impulsiva alla partenza.

 

PRIMA VELOCITA' COSMICA **

Il primo caso è probabilmente quello che si prefiggeva, teoricamente, Newton: immettere la pietra in orbita terrestre ad un'altezza qualsiasi rispetto al suolo o, meglio, rispetto al centro della Terra, dato che aveva dimostrato che tutta la massa del pianeta può tranquillamente essere pensata come concentrata nel suo centro di massa. Assumiamo come orbita quella circolare.

Introduciamo qualche simbolo...

Chiamiamo M la massa della Terra, R il suo raggio, m la massa della pietra-satellite e h l'altezza, rispetto alla superficie, a cui vogliamo che orbiti.

Quando il satellite è in orbita circolare alla distanza h dalla superficie terrestre è soggetto a due forze: la forza di gravità Fg diretta verso il centro della Terra e la forza centrifuga Fc diretta in verso opposto. La seconda legge della dinamica ci dice che:

Fg + Fc = ma

Le due forze agiscono nella stessa direzione e possiamo considerare solo il loro modulo. Inoltre vogliamo che il corpo si immetta in orbita circolare con velocità costante per cui basta annullare l'accelerazione radiale totale. Ovviamente, tutto ciò avviene nel riferimento del satellite, il quale si sente immobile.

Fg + Fc = 0

Fc  = - Fg

Considerando positivo il verso che esce dal centro della Terra, il modulo della forza centrifuga è negativo, per cui:

Fc = Fg

Scrivendo per esteso i valori delle forze:

GMm/(R + h)² = m v₁²/(R + h)             .... (1)

ricordando che l'accelerazione centripeta vale v²/r

il tutto si riduce a:

GM/(R + h) = v₁²

Ponendo R + h = r (distanza del satellite dal centro della Terra)

v₁ = √(GM/r)             .... (2)

Facciamo un piccolo accenno all'energia in gioco. L'energia totale deve essere negativa, ossia deve in qualche modo trattenere l'oggetto all'interno del campo gravitazionale terrestre. Ricordiamo infatti che l'energia totale del satellite è data dalla somma dell'energia cinetica e di quella gravitazionale. Se quella cinetica, diretta verso l'esterno, superasse quella gravitazionale, l'energia totale sarebbe positiva e il satellite sarebbe libero rispetto al campo gravitazionale. 

Questa è la prima velocità cosmica che, com'era facile dedurre dalla sua definizione, non è un valore unico per la Terra, ma dipende essenzialmente dall'altezza a cui si vuole inserire il satellite. Lo potremmo inserire a un'altezza r = R , ma sarebbe di poca durata a causa di alberi, edifici, montagne e ... atmosfera.

Comunque, in tal caso, avremmo:

v1 ∼ 7.9 km/s

Molto meglio inserirlo a un'altezza tale che esso rimanga sempre nella stessa posizione rispetto al pianeta attorno a cui gira. Ricordiamo allora, tre tipi di orbita sincrona. L'orbita sincrona è quella in cui il periodo del satellite è uguale a quello del pianeta. Se il pianeta è la Terra l'orbita diventa geosincrona. Se, infine, il satellite viene inserito nel piano equatoriale della Terra con moto circolare uniforme l'orbita diventa geostazionaria. Questo è proprio il caso in cui il satellite rimane fisso rispetto a un certo punto dell'equatore terrestre.

Dobbiamo cambiare la formula (1), in modo da far comparire il periodo di rotazione terrestre che ci dà il vincolo a cui siamo soggetti. Nessun problema... nel moto circolare uniforme possiamo esprimere l'accelerazione centripeta in funzione della velocità angolare ω attraverso la ben nota formula:

a_c = ω² r

da cui, la (1) diventa:

GMm/r² = m ω² r

GM/r² =  ω² r

r³ = GM/ω²

r = ³√(GM/ω²)

Ma sappiamo anche che la velocità angolare della Terra vale:

ω = 2π/P       dove P è il periodo di rotazione. Abbiamo, perciò:

r = ³√(GM P²/4π²)        .... (3)

che, nel caso della Terra, vale circa 42 160 km

Il valore di r così trovato può essere sostituito nella (2) per ottenere la prima velocità cosmica di un satellite geostazionario:

v₁ ∼ 3.1 km/s

 

SECONDA VELOCITA' COSMICA **

Immaginiamo il caso più generale, ossia il corpo in oggetto si trovi a una distanza qualsiasi r dal centro della Terra ed è diretto in senso radiale. Esso è soggetto soltanto a una forza, quella di gravità, dato che non vi sono forze centrifughe in atto. Calcoliamo la sua energia meccanica che è data dalla somma dell'energia potenziale e di quella cinetica dovuta alla sua velocità v₂.

Ec = 1/2 m v₂²

Ep = - GMm/r

Etot = 1/2 m v₂² - GMm/r

Possiamo considerare come posizione finale quella in cui l'oggetto si fermi  all'infinito, ossia che sia EP che EC valgano zero. Per la conservazione dell'energia meccanica, deve perciò essere:

1/2 m v₂² - GMm/r = 0

Come già accennato, questo vuol dire che le due energie in gioco devono uguagliarsi. Basta, ora, ricavare v₂

v₂ = √(2GM/r)                        .... (4)

E' interessante confrontare, per una certa distanza r, la seconda e la prima velocità cosmica: qualsiasi sia il punto di partenza dell'oggetto, la velocità di fuga (ossia la seconda velocità cosmica) deve valere quella orbitale (la prima) moltiplicata per √2, ossia:

v₂ = √2 v₁                   .... (5)

Il caso sicuramente più interessante si ha quando l'oggetto viene lanciato da terra, ossia per r = R. Essa vale 11.2 km/s. Notiamo che tale velocità è stata calcolata solo attraverso grandezze scalari (non vettoriali), da che si deduce che non ha nessuna importanza la direzione di lancio iniziale.

 

TERZA VELOCITA' COSMICA ***

Essa è la velocità necessaria per uscire dal Sistema Solare. In poche parole, l'oggetto non solo deve uscire dal campo gravitazionale della Terra, ma anche da quello del Sole attorno a cui gira la Terra. Conviene spezzare il problema in due parti e affrontarlo prima da un punto di vista concettuale, per poi passare alle formule.

La velocità di fuga, che abbiamo appena trattato, immagina che esista solo il pianeta da cui si vuole fuggire. In questo contesto, la gravità del pianeta non ha limiti e si riesce a ottenere la giusta velocità solo andando all'infinito dove si può annullare l'energia potenziale e quella cinetica. Tuttavia, la Terra non è sola e rivolve attorno al Sole, di massa ben maggiore. Ciò comporta che a una certa distanza dalla Terra, il campo gravitazionale del Sole diventa dominante rispetto a quello terrestre. L'oggetto che è stato lanciato non risente praticamente più della gravità terrestre ed è soggetto solo a quella del Sole (trascuriamo gli altri pianeti). Siamo caduti nel classico problema dei tre corpi e dei punti di equilibrio lagrangiani. Ma è meglio ancora richiamare la sfera di Hill, proprio quel limite da cui in poi un corpo diventa soggetto solo alla gravità del Sole.

La prima parte della soluzione deve portare, perciò, l'oggetto in balia solo del del Sole, dopo di che la faccenda si riferisce solo a un sistema in cui vi è un oggetto che rivolve attorno al Sole e che deve superare la sua gravità. In pratica deve passare dalla prima velocità cosmica solare (in orbita solare) alla seconda velocità cosmica solare (velocità di fuga dal Sole). E' come se mettessi l'oggetto in orbita attorno al Sole e poi gli impartissi un'ulteriore velocità per farlo allontanare per sempre. Chiamiamo V₁ e V₂ le velocità cosmiche solari.

Iniziamo a portare l'oggetto fino a V₁, ossia portiamolo al limite della sfera di Hill terrestre.

L'oggetto viene lanciato con una certa velocità v e ha un energia pari a:

1/2 m v² - 2GMm/R

Fino a che l'oggetto si trova all'interno della sfera di Hill questa quantità tende sempre a riportare l'oggetto verso la Terra, ma giunto al bordo della sfera di Hill, ossia quando ha raggiunto una certa velocità  v_H, l'energia potenziale della Terra si può trascurare e la sua energia è solo cinetica:

1/2 m v² - 2GMm/R = 1/2 m v_H² + 0

1/2 v2 - 2GM/r = 1/2 V_H²

La quantità 2MG/R, però, la conosciamo bene (4) e vale

2MG/R = v₂²

con v₂ uguale alla velocità di fuga dalla Terra

Possiamo allora scrivere che la velocità minima da impartire al lancio deve  essere:

v² = v_H² + v₂²

o, ancor meglio, possiamo utilizzare la (5):

v² = v_H² + 2v₁²                .... (6)

Questa formula ci serve per calcolare la v, ma mentre v₁ è nota, non lo è ancora v_H.  Facciamo, allora, il passo ulteriore e ci spostiamo nel sistema di riferimento solare, indicando le velocità cosmiche solari con la V maiuscola.

Noi vogliamo che la velocità totale V_tot della nostra sonda rispetto al Sole sia uguale alla velocità di fuga dal Sole V₂ = √2V₁.

V_tot = V₂ = √2 V₁               .... (7)

Tuttavia, sappiamo anche che siamo arrivati in orbita solare con v_H rispetto al Terra. A questa velocità devo aggiungere la velocità della Terra V_T rispetto al Sole, ossia

V_tot = v_H + V_T      .... (8)

Ma cos'è la velocità orbitale della Terra se non la prima velocità cosmica del Sole, ossia V₁?

V_T = V₁

V_tot = v_H + V₁

Posso scrivere, allora, dalla (7) e dalla (8):

v_H + V₁ = √2 V₁

da cui:

v_H = V₁(√2 - 1)

Abbiamo calcolato la v_H dato che la V₁ non è altro che la velocità orbitale della Terra (29.8 km/s). Calcolata v_H la possiamo andare ad inserire nella (6) per ricavare, finalmente, la velocità che devo impartire alla sonda per uscire dalla sfera di Hill e fare altrettanto con il campo gravitazionale del Sole. Possiamo chiamare questa velocità v con il suo vero nome v₃, ossia la velocità che devo impartire sulla Terra alla sonda per farla uscire dal Sistema Solare:

v² = v₃² = v_H² + 2v₁² =  V₁²(√2 - 1)² + 2v₁²

segue che:

v₃ = √(V1²(√2 - 1)² + 2v1²)

Tutti i termini a secondo membro sono noti

v₃ ∼ 16.7 km/s                      (provare per credere!)

Questo è il valore minimo per scappare dal Sole ed è stato calcolato nelle condizioni migliori, ossia lanciando la sonda in modo che v_H sia nello stesso verso della velocità tangenziale della Terra. Se ci mettessimo nelle condizioni opposte dovremmo raggiungere, invece:

v₃ ∼ 72.7 km/s

Non è difficile calcolare anche questo valore, ma dovremmo far entrare in ballo  l'angolo tra le direzioni delle velocità. Possiamo tralasciarlo dato che sarebbe ben poco intelligente utilizzare il valore massimo invece di quello minimo!

In pratica la faccenda è un po' più complicata, dato che attorno al Sole vi sono anche altri pianeti...