Questo articolo vuole rispondere a una precisa richiesta del nostro amico Pierluigi riguardante la dimostrazione che ha permesso ad Archimede di rettificare una circonferenza, ossia di trovare un segmento che abbia la stessa lunghezza dell'intera circonferenza. In questo contesto, l'articolo può essere considerato come completamento di questa trattazione. Un risultato eccezionale che, però, ricordiamo non risolve il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso, dato che fa uso di una curva che opera come "macchina" per ottenere lo scopo.

La dimostrazione di Archimede, per quanto è giunto fino a noi, sembra che fosse ottenuta attraverso il solito metodo dell'esaustione. Un procedimento lungo e che nasconde la parte più essenziale: "Perché mai Archimede avrebbe dovuto pensare alla spirale e a quel particolare segmento?" Probabilmente, perché aveva già capito a cosa poteva andare a parare. Lasciatemi, allora, risolvere la rettificazione della circonferenza con un metodo che non comporta derivate o trigonometria, ma solo un preciso ragionamento e un paio di triangoli simili.

Il metodo era stato esposto da Torricelli e Roberval nel XVII secolo e io ho cercato di renderlo il più intuitivo possibile, cercando di mettermi nei panni del grande matematico (Dio mi perdoni!).

Iniziamo, allora, la nostra dimostrazione partendo proprio dalla lontana, ossia dalla spirale dello stesso Archimede, la macchina giusta per il giusto scopo. Che tipo di moto descrive un punto che disegna la spirale? Un moto composto da due moti uniformi, uno di traslazione lungo la retta (il bastone) che ruota e uno dovuto proprio alla rotazione del bastone. Introduciamo la Fig. 1.

Descrivendo un moto siffatto, il punto P parte dall'origine ed è soggetto ad una velocità lungo l'asse rotante e ad una velocità angolare propria del bastone. Entrambe le velocità sono costanti e possono essere scritte come:

vr = s/t

dove s = OP(t)

ω = α/t

dove α = MOP

In tempi uguali il punto P si muove sulla spirale spostandosi di un segmento s lungo il bastone e ruotando di un angolo α.

Al tempo t qualsiasi il punto P  continua a essere soggetto alle due velocità costanti vr e ω.

Descriviamo la nostra circonferenza da rettificare, avente raggio R = OP (Fig. 2)

Nel punto P la tangente alla spirale individua la direzione della velocità v che è la combinazione di v_r e ω. Possiamo facilmente scrivere che:

v_r = R/t

ω R = v_t          (vt velocità tangenziale nel moto circolare uniforme)

Ma sappiamo anche che:

ω = α/t

v_t = αR/t

v_r e v_t sono le due componenti in cui si può scomporre la velocità v del punto P che descrive la spirale.

Adesso, tracciamo la perpendicolare da O alla congiungente OP e prolunghiamo la tangente alla spirale in P fino a incontrare la perpendicolare in T.

I due triangoli rosa sono simili per costruzione, per cui possiamo scrivere la proporzione:

OT/OP = v_t/v_r = (αR/t)/(R/t)= Rαt/Rt = α

OT/OP = OT/R = α

OT = Rα

Ma Rα non è altri che l'arco di cerchio che corrisponde all'angolo α. Per cui il segmento OT ha una lunghezza pari all'arco di circonferenza di raggio R. La nostra circonferenza è stata rettificata.

Il caso generale della figura, infatti, può essere riportato al caso particolare in cui α = π/2.

Otteniamo la Fig. 3

Essa ci dice che il segmento OT è uguale all'arco di cerchio della circonferenza di raggio R, corrispondente ad un angolo di π/2. Ne segue che 1/4 di circonferenza è uguale ad OT. Basta tracciare un segmento OT pari a quattro volte quello indicato in figura per avere la lunghezza dell'intera circonferenza!

Molti contestano che questo metodo possa essere stato pensato da Archimede per due motivi:

(1) Archimede conosceva la scomposizione di un vettore?

(2) Perché Archimede dice di avere usato l'esaustione?

Mi permetto di rispondere in modo molto personale:

(1) Scomporre il modulo di una velocità secondo due direzioni tra loro perpendicolari segue, in fondo, direttamente dal teorema di Pitagora.

(2) Probabilmente l'esaustione lo vedeva come protagonista ed era considerato un metodo molto "alla moda".

Ovviamente, posso aver torto, ma sono convinto che Archimede fosse in grado di affrontare il problema secondo quanto descritto. In ogni caso, ho dato una risposta a Pierluigi senza usare derivate e trigonometria, ma solo semplice geometria.

Spero di averlo accontentato...