Un racconto geometrico molto personale che ha mostrato la mia... ignoranza!

Pochi giorni fa ho decritto un metodo rapidissimo per dimostrare il teorema di Pitagora "esteso", in cui su ogni lato del triangolo rettangolo si siano posti poligoni simili con un numero di lati qualsiasi. Ovviamente, ne deriva che la costruzione dei quadrati (ossia il classico teorema di Pitagora) non è altro che un caso molto particolare: i poligoni costruiti sui lati del triangolo sono proprio quadrati.

Alla fine dell'articolo avevo posto una domanda: "Dato un poligono qualsiasi, di n lati, la somma delle aree di qualsiasi poligono costruite su di essi potrebbe essere uguale all'area del poligono costruito sul lato maggiore ?".

Una domanda che, data l'estensione del teorema di Pitagora, potrebbe più semplicemente porsi : Dato un poligono qualsiasi di n lati potrebbe estendersi ad esso il teorema di Pitagora? Detto ancora in altre parole: "E' possibile determinare un poligono qualsiasi tale che la somma dei quadrati dei suoi lati sia uguale al quadrato del lato maggiore?".

Nel caso di tre lati, si ritorna, ovviamente, al triangolo rettangolo.

Al quesito ci sta lavorando anche Andy, che si sta rivolgendo a un caso più generale possibile (vedi commenti all'articolo). Io mi sono, invece, limitato a un caso particolare che abbisogna di una rappresentazione grafica oltremodo semplice. un metodo molto semplice per trovare infiniti poligoni che rispondessero affermativamente alla domanda. I miei poligoni dovevano sottostare a una semplice regola: dovevano essere costruiti a partire da un un qualsiasi triangolo rettangolo, seguendo il metodo che ripropongo in Fig. 1.

L'ipotenusa del primo triangolo diventa un cateto del secondo e la nuova ipotenusa un cateto del terzo, e via dicendo. L'ultima ipotenusa diventa l'ultimo lato del poligono cercato.

Rappresentiamo il tutto con una formula molto semplice, chiamando c_i i lati del poligono cercato e con ip_i le ipotenuse che ci servono ad ogni passo per aumentare il numero di lati e che, tranne l'ultima, non compaiono più nella formula finale:

Dal primo triangolo abbiamo:

c₁² + c₂² = ip₁²             .... (1)

Poi, ip₁ diventa un cateto del secondo triangolo, mentre l'altro cateto, la cui lunghezza può essere qualsiasi, lo chiamiamo c₃, dato che sarà un lato del poligono finale.

ip₁² + c₃² = ip₂²             .... (2)

sostituendo la (1) nella (2)

c₁² + c₂² + c₃² = ip₂²         .... (3)

Ripeto l'operazione inserendo un nuovo triangolo rettangolo con cateti ip₂ e c₄, ottenendo:

ip₂² + c₄² = ip₃²         .... (4)

Sostituendo la (3) nella (4)

c₁² + c₂² + c₃² + c₄² = ip₃²      .... (5)

A questo punto, ho ottenuto i primi 4 lati del poligono da costruire (c₁, c₂, c₃, c₄) e, se mi voglio fermare, limitandomi a un pentagono, basta porre ip₃ = c₅. La (5) diventa:

c₁² + c₂² + c₃² + c₄² = c₅²

La formula finale ci dice che la somma dei quadrati costruiti sui primi n-1 lati è uguale al quadrato costruito sull'ennesimo lato.

Che è proprio quello che volevamo.

Le cose funzionano, anche se, ovviamente, questo metodo si limita alla costruzione di poligoni con almeno un angolo retto. Andy sta proseguendo l'analisi del problema, sia con numeri interi che reali. Io, invece, mi voglio fermare a questo caso particolare per poter continuare la mia "avventura" personale...

Mentre facevo queste prove, mi sono accorto che i poligoni successivi andavano a costruire una specie di spirale. Per facilitarmi le cose, ho considerato come triangolo di partenza un triangolo rettangolo isoscele di cateti uguali a 1.  Le cose erano decisamente più regolari e la spirale si vedeva molto meglio (Fig. 2).

Non solo però... le ipotenuse dei triangoli che andavo aggiungendo, sempre con un cateto unitario, non erano assolutamente casuali! La prima era √2, la seconda √3, la terza √4 e via dicendo.

1² + 1² = 2

2 + 1² = 3

3 + 1² = 4

eccetera, eccetera.

In altre parole:

1 + 1 + 1 + 1 = 4

Si poteva costruire un poligono di n-1 lati uguali e l'ennesimo uguale alla radice quadrata della somma degli n-1 lati.

Ma, c'era di più, molto di più... Altro che Pitagora esteso, era saltata fuori la costruzione grafica di tutte le radici quadrate dei numeri interi!

No, questo risultato era troppo importante perché non fosse già stato trovato dai nostri amici greci... Cercando un poco è saltato fuori! Avevo costruito la spirale di Teodoro di Cirene, matematico greco nato nel 465 a.C.,  che -dico la verità- non conoscevo affatto.

Deluso? Assolutamente no! Sono riuscito a imparare qualcosa in più...

Questa avventura ha avuto un logico finale, in breve tempo, grazie a Internet.

Molto più critica era stata un'avventura analoga capitatami nei miei primi mesi di lavoro all'Osservatorio di Torino. Mi era stato affidato il campo di ricerca sugli asteroidi, che stavano diventando entità fisiche e non solo punti in movimento tanto utili ai meccanici celesti. Nessuno, però, tra i ricercatori di quell'Istituto, li conosceva in modo approfondito. Una delle prime idee era stata, così, quella di vedere cosa saltava fuori dai diagrammi eccentricità verso semi-asse orbitale e inclinazione verso semi-asse orbitale. La tecnologia era allora molto scarsa e avevo dovuto inserire a mano centinaia di punti su fogli di carta millimetrata.

Accidenti! Saltavano all'occhio, chiaramente, delle zone in cui la densità di punti non poteva essere casuale. In poche parole, vi erano gruppi di oggetti, estremamente vicini tra loro nei due suddetti diagrammi. Ne parlai col Direttore e lui ne fu sorpreso, dicendomi che sembrava un risultato da approfondire. Purtroppo, non c'era ancora Internet, ma solo una biblioteca con pochissimi lavori sugli asteroidi... Cercando e cercando, trovai una vecchia rivista giapponese (fortunatamente tradotta in inglese) ed ebbi la mia grande delusione: avevo riscoperto le famiglie asteroidali già descritte nel 1918 dal giapponese Hirayama. Ero arrivato con grande ritardo...

Quel giorno, mi dissi che avrei dovuto comunque lasciare sulle famiglie una mia impronta. E sono sempre contento di vedere che il mio metodo di classificazione, Hierarchical Clustering Method (HCM), è sempre quello seguito anche oggi, dopo quasi trent'anni dalla mia prima descrizione.

L'avventura è finita, ma è servita a concludere, ancora una volta, che gli antichi greci sapevano fare il loro mestiere molto bene! La spirale di Teodoro rimane, ancora oggi, l'unico metodo grafico per ottenere tutte le radici quadrate dei numeri interi.