Quando avevo scritto il corso di matematica avevo riportato solo le derivate delle funzioni fondamentali, evitando di dimostrare come potevano essere ottenute. Direi che è giunto il momento di farlo, dato che il Circolo e i suoi lettori sono ormai "maturi". Ringrazio, in particolare Albertone, che mi ha stimolato a fare questo passo. Consideriamola un'aggiunta alle lezioni di matematica...

Per ricavare le derivate fondamentali ci atterremo, per quanto possibile, alla definizione classica di derivata, intesa come limite per h che tende a zero del rapporto incrementale (vedi QUI).

Potremmo già iniziare? Sicuramente sì, ma dovremmo fermarci quasi subito, ossia non appena tentassimo di dimostrare la derivata di un monomio. Insomma, faremmo ben poca strada. Purtroppo è così, se non in casi molto particolari... La faccenda, come già accennato nel corso di matematica, è ben più complicata di quanto potrebbe apparire, soprattutto se si volesse ottenere una dimostrazione matematicamente accurata e ineccepibile.

Saremmo, spesso, davanti a gatti che si mordono la coda, ossia tali che per dimostrare a dovrei dimostrare b, ma per dimostrare b dovrei dimostrare a. Mamma mia, che bel pasticcio!

La cosa migliore da fare è andare per gradi, iniziando con la dimostrazione dei limiti notevoli fondamentali, per poi passare ad altri limiti deducibili da questi e avere così a disposizione, già belle e pronte, le soluzioni per passaggi apparentemente insolubili, necessari per ricavare le nostre derivate. Vedremo la loro importanza, ma non tralasceremo approcci geometrici e nemmeno l'accettazione passiva di uno di essi.

Ciò che possiamo fare subito è limitarci alla derivata di una costante. Ben poca cosa, direte... ma neanche essa è priva di qualche fraintendimento. Ancora una volta, le forme indeterminate riescono a creare ostacoli che necessitano di astuzia e furbizia.

Funzione costante

y = costante = c

Come ormai sappiamo molto bene la scrittura precedente ci dice molte cose...

Innanzitutto che essa rappresenta una funzione che rimane costante qualsiasi sia il valore della x. In parole geometriche ciò vuol dire che stiamo parlando di una retta parallela all'asse delle x, che per c = 0 coincide proprio con l'asse delle ascisse. Se, poi, consideriamo la x come il tempo t e la y come spazio, essa ci dice che stiamo muovendoci a velocità NULLA, ossia siamo fermi e ciò che varia è solo il tempo, ma non la nostra posizione. Possiamo facilmente immaginarci qual è la derivata di questa semplicissima funzione: ZERO. Ricordiamo, infatti, che la derivata rappresenta, per una retta, il suo coefficiente angolare, ossia la tangente trigonometrica di dy/dx, ma questa è ovviamente zero, dato che la retta è parallela all'asse x.

In realtà, il rapporto dy/dx sembrerebbe essere 0/0, ma i due zeri hanno un significato decisamente diverso.  Scriviamo, allora, il rapporto incrementale e passiamo al limite:

y' = lim _{h → 0}(f(x + h) - f(x))/h

Se h tende a zero, sia numeratore che denominatore diventano zero. Ragioniamo, però, con attenzione. Cosa vuol dire che una funzione è una costante? Vuol dire che essa vale sempre lo stesso NUMERO c, qualsiasi sia il valore della x. Ma allora dobbiamo scrivere:

f(x + h) =  f(x) = c

e il nostro limite diventa:

y' = lim _{h → 0}(f(x + h) - f(x))/h = lim _{h → 0}(c - c)/h = lim _{h → 0} 0/h

In poche parole la h al numeratore scompare prima di eseguire il limite. Abbiamo perciò una forma 0/h con h che tende a zero, mentre il numeratore è sempre zero. Ne segue che zero diviso un numero più grande di zero, anche se di pochissimo, non può che valere zero. Detto in altro modo, il numeratore arriva a zero ben prima del denominatore e rappresenta un infinitesimo di ordine nettamente superiore, per cui il risultato non può che essere zero.

Scusate le lungaggini che ho usato per arrivare a un risultato apparentemente banale, ma vi assicuro che non pochi sono stati tratti in inganno da un qualcosa che sembra portare a una forma indeterminata 0/0.

Andiamo avanti e pensiamo ai limiti fondamentali e a... qualche gatto che si morde la coda.

Gli articoli dedicati alle derivate delle funzioni fondamentali sono disponibili QUI

e fanno parte del corso completo di matematica