(QI) Giochiamo con l'aquilone? ***
Festeggiamo il mio "cauto" ritorno con un bel gioco all'antica: l'aquilone! Per mancanza di spazio, tuttavia, limitiamoci a un aquilone "matematico", ossia a un quadrilatero decisamente interessante.
Esso è definito aquilone quando ha due coppie di lati adiacenti congruenti, come mostra la figura che segue.
Questa definizione impone altre peculiarità relative alle sue diagonali e agli angoli, che potete ricavare facilmente da soli. Presa conoscenza con il nostro amico, eccoci al quiz che non è semplice come potrebbe sembrare a prima vista:
Consideriamo un aquilone come quello della figura precedente, ma imponiamo che i lati AD e CD siano uguali alla diagonale BD. Non ci resta, adesso, che inserirlo in un quadrato in modo tale che ogni vertice dell'aquilone tocchi un lato diverso del quadrato.
Si chiede: QUAL E' L'AMPIEZZA DELL'ANGOLO ABC ?
Attenzione, però, voglio una soluzione rigorosa e generale e non un caso particolare.
Vediamo se trovate più di una soluzione...
P.S.: Spero di non aver commesso errori; nel caso, però, abbiate pietà...
6 commenti
Allora... Il quadrato costruito intorno all'aquilone rende la figura geometrica risultante abbastanza semplice.
Essendo la diag. BD uguale ai lati AD e CD si può disegnare un cerchio centrato in D e di raggio BD che passa per i punti A, B e C. Esaminando la figura si vede che la diag. AC è perpendicolare e uguale a BD, AD e CD, cioè quanto il lato del quadrato. Quindi il triangolo ACD è equilatero avendo i lati uguali e gli angoli sono di 60°.
Esaminando la figura vediamo che i punti A, B e C sono anche lati di un dodecagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio BD, pertanto l'angolo ADB è 1/12 di 360° cioè 30°. Inoltre il triangolo ADB è isoscele e quindi gli angoli DAB e ABD sono uguali. Dovendo la somma degli angoli interni del triangolo dare 180°, sapendo che l'angolo in D è pari a 30°, è facile ricavare gli altri due: DAB=ABD= (180-30)/2= 75°
Quindi essendo l'angolo ABC esattamente il doppio di ABD
ABC= 75 x 2= 150° C.V.D. (spero)
Sei sicuro, Maurizio, di aver trattato il caso più generale possibile?
Direi abbastanza da sottoporlo alla tua attenzione, ma capisco che la domanda potrebbe essere retorica...
Ho approcciato il quiz in maniera visiva, geometrica, e ho pensato che l'aquilone ideale sia una figura simmetrica sull'asse verticale.
Poi ho visualizzato il cerchio passante per A, B e C e centrato in D e infine ho costruito il quadrato in modo tale che ogni vertice dell'aquilone tocchi un lato diverso del quadrato.
Alla fine mi sono convinto che non ci fossero altre combinazioni possibili che rispondessero ai requisiti (salvo sviste) e sono passato alla dimostrazione, nella quale ho scritto che "i punti A, B e C sono anche lati di un dodecagono regolare", in realtà avrei dovuto scrivere che A,B e C sono vertici e non lati...
Quindi, chiedendo aiuto a Mogol...
"Come un'Aquila può
- diventare Aquilone?
- che sia legata oppure no
- non sarà mai di cartone"
Sembrerebbe così, ma non lo è ... O -almeno- esistono altre possibilità
Non potevo non partecipare al quiz del ritorno di Enzo.
La mia risposta è simile a quella di Maurizio con l'aggiunta di un caso "degenere".
Nel caso "normale" l'aquilone ha le due diagonali perpendicolari tra loro. Qualsiasi sia l'inclinazione del quadrato, gli angoli di ciascuna diagonale ed i lati del quadrato tagliati sono uguali (
).
Poiché i lati del quadrato devono essere uguali, devono essere uguali anche le diagonali con le quali formano angoli uguali. Ne segue che AC=BD=DA=DC. Quindi ACD è un triangolo equilatero e l'angolo
deve essere di 60°.
Di conseguenza gli angoli
sono }{2}=75^\circ)
e l'angolo ABC è di 150° come già detto da Maurizio.
A questo si potrebbe aggiungere un caso "degenere".
Se
si apre a 180°, l'aquilone prende la forma di un triangolo con base AC di lunghezza doppia dell'altezza BD.
Posso iscrivere il triangolo in un quadrato come in figura. Sfruttando il fatto che ora ci sono solo 3 vertici ( se è consentito escludere quello degenere D), potrei affermare che "ogni vertice dell'aquilone tocca un lato diverso del quadrato" come richiesto.
Ho dimenticato di rispondere alla domanda.
Nel caso degenere l'angolo ABC è 90°.