Per proseguire con le nostre derivate è fondamentale introdurre un nuovo e fondamentale limite notevole. Non lo dimostreremo, dato che presuppone il limite di una successione e la faccenda sarebbe troppo complicata. Tuttavia, lo conosciamo bene ed è quello che definisce il numero di Nepero e.

Infatti, possiamo scrivere che:

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x  = e                      .... (1)

Consideriamo questo limite come una definizione, potendo dimostrare che è è un numero finito, anche se irrazionale.

Da questo limite se ne deducono altri tre che sono particolarmente importanti per il calcolo di altre derivate fondamentali.

 

Cominciamo con il primo, detto anche limite del logaritmo:

lim_x→0 ln (1 + x)/x = 1                .... (2)

Partiamo dal limite di Nepero (1) e facciamo il logaritmo di entrambi i membri

lim_x→∞  ln(1 + 1/x)^x  = ln e  = 1

lim _x→∞ ln(1 + 1/x)^x  = lim x ln(1 + 1/x)  = 1

Riscriviamo questo limite cambiamo variabile, ossia ponendo

z = 1/x

ossia:

x = 1/z

Per x che tende a infinito z deve tendere a zero per cui:

lim_z→0 ln (1 + z)/z = 1

c.v.d.

 

Passiamo a un altro limite detto limite dell'esponenziale

lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1                     

La dimostrazione è rapidissima... basta riprendere la (2)

lim_x→0 ln (1 + x)/x = 1

e utilizzare un cambio di variabile:

x = e^z - 1

La sostituzione è accettabile, dato che per z che tende a zero anche x tende a zero. Possiamo, di conseguenza, scrivere che:

lim_x→0 ln (1 + x)/x  = lim_z→0 ln(1 + e^z - 1)/(e^z - 1) = lim_z→0ln(e^z)/(e^z - 1) = lim_z→0 z/(e^z - 1) 

Se il limite di un rapporto vale 1 deve valere 1 anche il limite del rapporto invertito

lim_z→0 (e^z - 1)/z = 1

c.v.d.

 

Ed eccoci al terzo limite, chiamato anche limite della potenza con differenza:

lim_x→0 ((1 + x)^c - 1)/x = c

Partiamo ancora dal limite notevole (2):

lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1

Eseguiamo un cambio di variabile:

x = (1 + z)^c - 1

Se x tende a zero tende a zero anche l'espressione di destra. Ma l'espressione di destra tende a zero quando z tende a zero. Possiamo perciò scrivere:

lim_x→0 ln (1 + x)/x = lim_z→0 ln(1 + (1 + z)^c - 1)/((1 + z)^c - 1) = lim_z→0 ln(1 + z)^c/((1 + z)^c -1)

Utilizziamo una proprietà dei logaritmi:

lim_x→0 ln (1 + x)/x = lim_z→0c ln(1 + z)/((1 + z)^c -1)

Moltiplichiamo l'espressione all'interno del limite per z/z:

lim_x→0 ln (1 + x)/x = lim_z→0c (ln(1 + z)/((1 + z)^c -1))(z/z)= lim_z→0c z/((1 + z)^c -1) · ln(1 + z)/z

Sappiamo però che

lim_z→0 ln(1 + z)/z = 1

Perciò:

lim_x→0 ln (1 + x)/x = lim_z→0c z/((1 + z)^c -1)

Sappiamo anche che il nostro limite è uguale a 1, perciò è uguale a 1 anche il limite dell'inverso, ossia:

lim_z→0c z/((1 + z)^c -1) = lim_z→0(1 + z)^c -1)/(c z) = 1

Portiamo fuori la costante 1/c:

(1/c)lim_z→0(1 + z)^c -1)/z = 1

Infine moltiplichiamo ambo i membri dell'uguaglianza per c

lim _z→0 ((1 + z)^c - 1)/z = c

che è proprio il limite che volevamo dimostrare.

 

Ricapitoliamo i limiti ottenuti

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x  = e 

lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1

lim_x→0 ln (1 + x)/x = 1 

lim_x→0 ((1 + x)^c - 1)/x = c

e utilizziamoli per il calcolo delle prossime derivate.

P.S.: Ho fatto parecchia fatica a scrivere tutte queste formule e vi invito a controllare bene che tutti i passaggi siano esatti. Aiutate un povero "pirata"...

 

Gli articoli dedicati alle derivate delle funzioni fondamentali sono disponibili QUI

e fanno parte del corso completo di matematica