Ortogonalità delle funzioni seno e coseno

Facciamo un salto non trascurabile ed entriamo nel campo degli integrali (semplici però…). Parleremo di proprietà di ortogonalità delle funzioni seno e coseno. Il nome indica proprietà legate alla loro rappresentazione vettoriale e al prodotto scalare (ricordiamoci che per due vettori ortogonali il prodotto vale zero).Noi, però, ci limiteremo alle normali operazioni di prodotto di scalari.

Vediamo di calcolarne qualcuna molto particolare, ma essenziale per quanto verrà dopo. Poniamo che m e n siano due numeri interi positivi.

Cominciamo con

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx             .... (1)

Si presentano tre casi...

m = n = o

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ∫^π_-π cos(0) cos(0) dx = ∫^π_-π dx = [x]^π_-π = π-(-π) = 2π

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = 2π        .... (2)

 

m = n  ≠ 0

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ∫^π_-π cos²(mx) dx

Ricordando la formula di duplicazione del coseno⁽*⁾, abbiamo che

cos(2a) = 2 cos²a – 1

ossia:

cos²a = (cos(2a) + 1)/2

inserendo questa relazione nell’integrale si ha:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ∫^π_-π cos²(mx) dx = 1/2∫^π_-π cos (2mx) dx + 1/2∫^π_-π dx =

= (1/2) (1/2m)[sin(2mx)] ^π_-π + (½) 2 π = (1/(4m))(sin(2m π) – sin(- 2m π)) + π

ma il seno è una funzione dispari, per cui sin(-x) = - sin(x)

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = (1/(4m))(sin(2m π) + sin(2m π)) + π =

= (1/(4m))(2sin(2m π)) + π

Tuttavia, sappiamo che il seno di qualsiasi multiplo di π vale sempre zero. Ne segue:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = π           ....(3)

 

m ≠ n

Anche in questo caso dobbiamo ricordare una  formula^(*) legata alle funzioni trigonometriche, in particolare:

cos(a) cos(b) = ½(cos(a + b) + cos(a – b))

Il nostro integrale diventa, perciò:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ½ ∫^π_-π cos((m + n)x) dx + ½ ∫^π_-π cos((m - n)x) dx

Gli integrali sono immediati (l’integrale del coseno è il seno), per cui:

∫^π_-π cos(mx)cos(nx) dx = (1/2)(m+n)[sin((m+n)x)] ^π_-π + (1/2)(m-n)[sin((m – n)x))] ^π_-π

Nuovamente dobbiamo ricordare che il seno è una funzione dispari, per cui:

∫^π_-π cos(mx)cos(nx) dx = (1/2)(m +n) (2 sin(m + n)π )+ (1/2)(m - n) (2 sin(m - n)π) =

= (m + n) sin(m + n)π + (m - n) sin(m - n)π

Il risultato della somma o della differenza di m e n ci dà sempre un multiplo di π con il segno più o il segno meno. In entrambi i casi il valore del seno è sempre zero. Per cui:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = 0          .... (4)

 

Passiamo, ora, all’integrale:

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx                    .... (5)

m = n = 0

Il risultato è veramente banale. Se m è uguale a n ed entrambi sono uguali a zero i seni valgono zero e quindi il risultato è zero.

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = 0           .... (6)

 

m = n ≠ 0

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = ∫^π_-π sin²(mx)dx

Ricordiamo la formula di duplicazione del coseno^(*):

cos (2a) = 1 – 2 sin²(a)

sin²(a) = (1/2)(1 - cos (2a))

per cui

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = (1/2)∫^π_-π dx – (1/2)∫^π_-π cos(2mx) dx

Abbiamo già svolto questi integrali, trovando che il primo vale 2π e il secondo vale zero (vedi i passaggi precedenti segnati in verde). Ne segue:

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = π          .... (7)

 

m ≠ n

Ricordiamo anche in questo caso una formula trigonometrica^(*):

sin(a) sin(b)= ½(cos(a - b) - cos(a + b)

da cui

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = ½∫^π_-π cos(m - n)x dx - ½∫^π_-π cos(m + n) dx

Ma questi  due integrali li abbiamo già risolti poco fa e abbiamo trovato che sono ambedue nulli (vedi percorso precedente in viola), da cui:

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx = 0       .... (8)

 

Rimane un’ultima proprietà di ortogonalità, ossia:

∫^π_-π sin(mx) cos(nx) dx                 .... (9)

In questo caso il risultato è sempre zero!

La dimostrazione è semplice: il seno, qualsiasi sia m, è una funzione dispari, mentre il coseno, qualsiasi sia n, è una funzione pari. Precedentemente abbiamo visto che il prodotto di una funzione pari per una dispari è sempre una funzione dispari. Se una funzione è dispari, in un intervallo simmetrico rispetto all’origine, il suo integrale non può che essere ZERO.

Ricordiamo, infatti, che le aree sono proprio degli integrali, per cui la somma delle due aree –e quindi degli integrali- deve risultare zero (Fig. 4).

L’integrale completo da – π a π risulta quindi ZERO.

m = n = 0

m = n ≠ 0

m ≠ n 

∫^π_-π sin(mx) cos(nx) dx = 0              .... (10)

continua ...

(*) APPENDICE

Probabilmente qualche formula è già stata ricavata in articoli precedenti, ma mi sembra cosa utile richiamarle in questa appendice.

cos(2a) = 2 cos²(a) – 1

cos(2a) = cos(a + a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a) = cos²(a) - sin²(a)

cos²(a) + sin²(a) = 1

sin²(a) = 1 - cos²(a)

cos(2a) = cos²(a) + cos²(a) - 1 = 2 cos²(a) - 1

 

cos(a) cos(b) = ½(cos(a + b) + cos(a – b))

Scriviamo le formule di addizione e sottrazione del coseno

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Eseguiamo la loro somma membro a membro

cos(a + b) + cos(a - b) = 2 cos(a)cos(b)

2 cos(a)cos(b) = cos(a + b) + cos(a - b)

cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a + b) + cos(a - b))

 

cos (2a) = 1 – 2 sin²(a)

cos(2a) = cos(a + a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a) = cos²a - sin²a

cos²(a) + sin²(a) = 1

cos²(a) = 1 - sin²(a)

cos(2a) = 1 - sin²a - sin²a

cos(2a) = 1 - 2 sin²(a)

 

sin(a) sin(b)= ½(cos(a - b) - cos(a + b)

Scriviamo le formule di addizione e sottrazione del coseno

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Eseguiamo la loro differenza membro a membro

cos(a + b) - cos(a - b) = - 2 sin(a)sin(b)

2 sin(a)sin(b) = cos(a - b) - cos(a + b)

sin(a)sin(b) = 1/2(cos(a - b) - cos(a + b))

 

La serie di articoli dedicati alla serie di Fourier è disponibile QUI

e fanno parte del corso completo di matematica