Trasformiamo gli integrali

Per avvicinarci sempre più alla rappresentazione della serie di Fourier più "espressiva", conviene, innanzitutto, trasformare gli integrali che ci hanno permesso di scrivere le proprietà di ortogonalità delle funzioni seno e coseno. Per far ciò cambiamo variabile e al posto della x facciamo intervenire il tempo t.

Iniziamo, quindi, con il primo integrale:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx             .... (11)

La variabile x la scrivo come:

x = ω t     dove ω è una costante.

Ovviamente bisogna anche cambiare il differenziale, ossia

dx = ω dt

nonché gli estremi dell’integrale:

dato che t = x/ω, quando x vale π, t deve valere π/ω e analogamente quando x = -π deve valere –π/ω.

L’integrale (11), perciò, diventa:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ω∫^π/ω_-π/ω cos(mωt) cos(nωt) dt             .... (12)

Dove abbiamo portato ω fuori dall’integrale dato che è una costante.

Qual è il periodo di cos(mωt)? Basta uguagliare la funzione di partenza a quella che si ottiene dopo un periodo P_m, ossia:

cos(mωt) = cos(mω(t + P_m))

Dobbiamo, ovviamente, considerare il valore più piccolo di P_m. Noi sappiamo bene quanto vale il periodo della funzione coseno: esso è uguale a 2π. Il che vuole dire che, affinché valga l’identità appena scritta, i due angoli del coseno devono differire di 2π. Ossia:

mω(t + P_m)) - mωt = 2π

P_m m ω = 2π

P_m = 2π/(ω m)

Per m = 1 otteniamo il periodo “base” che chiamiamo P

P = 2π/ω

Mentre tutti gli altri valgono:

P_m = P/_m

In poche, ma fondamentali, parole, al crescere di m diminuisce il periodo. In particolare, , al crescere di m, il periodo sarà sempre un sottomultiplo del periodo base P. In parole ancora più semplici:

P₂ = (1/2)P

P₃ = (1/3)P

e via dicendo …

Lentamente ci stiamo costruendo la tanto agognata serie di Fourier, Ma procediamo con calma…

Andiamo a riprendere l’integrale precedente (12), ossia:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = ω∫^π/ω_-π/ω cos(mωt) cos(nωt) dt

Al posto di ω possiamo mettere 2π/P. Ricordando che P = 2π/ω, al posto di π/ω mettiamo P/2 e via dicendo…

Otteniamo, perciò che:

∫^π_-π cos(mx) cos(nx) dx = 2π/P ∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P) t) dt        .... (13)

Dopo questa trasformazione devono rimanere immutate le proprietà di ortogonalità che abbiamo ottenuto precedentemente. Vediamo, allora il risultato che viene fuori.

Cominciamo con quello che abbiamo appena trasformato.

2π/P ∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P) t) dt

Devono valere i risultati ottenuti nel capitolo precedente, ossia esso deve valere

2π    per m = n = 0

π      per m = n ≠ 0

0      per m ≠ n

Scriviamo allora le tre uguaglianze moltiplicando entrambi i membri per P/(2π)

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = 2π P/2π  = P          (m = n = 0)

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = π P/2π    = P/2       (m = n ≠ 0)

∫^P/2 _–P/2 cos(m(2π/P)t) cos(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π    = 0          (m ≠ n)

Il procedimento usato per la prima delle tre proprietà va applicato anche alle altre due. Non vi è certo bisogno di ripeterlo, dato che anche il seno ha periodo 2π. Possiamo ricordare la seconda:

∫^π_-π sin(mx) sin(nx) dx

Essa valeva

0    per m = n = 0

π     per m = n ≠ 0

0     per m ≠ n

Per cui la sua trasformata

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          (m = n = 0)

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = π P/2π   = P/2       (m = n ≠ 0)

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) sin(n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          (m ≠ n)

La terza proprietà è decisamente la più semplice, dato che portava sempre a un valore uguale a 0 e come tale deve rimanere anche dopo la trasformazione, cioè

∫^P/2 _–P/2 sin(m(2π/P)t) cos (n(2π/P)t) dt = 0 ∙ P/2π  = 0          SEMPRE

continua...

 

La serie di articoli dedicati alla serie di Fourier è disponibile QUI

e fanno parte del corso completo di matematica