In questo articolo fornisco solo la soluzione del quesito, ma invito tutti ad andare a leggere i commenti del quiz, dove i nostri migliori matematici/geometri sono andati ben oltre rispetto a quanto richiesto.

Disegniamo il nostro triangolo come riportato nella figura che segue.

Avendo un angolo uguale a θ e uno uguale a 2θ ne segue una facile costruzione, ricordando che l'angolo esterno a un triangolo è pari alla somma degli altri due . In figura questo angolo esterno può variare solo tra 0° e 90°, per permettere all'angolo interno in A di essere ottuso. Tracciamo, perciò da A una retta che formi un angolo uguale a 3θ  (2θ + θ) con l'asse x e da B una retta che formi un angolo uguale a 2θ. Il punto d'incontro identifica il punto C. Chiamiamo AB = c = 100, BC = a e CA = b

Ne segue che l'angolo θ può variare solo tra 0 e 30°, mentre il suo coseno varia tra 1 e 0.866.

Dal teorema dei seni possiamo scrivere:

b/sin 2 ϑ = 100/sin ϑ

b sin ϑ = 100 sin 2 ϑ

b sin ϑ = 100 (2 sin ϑ cos ϑ)

b = 200 cos ϑ 

I limiti di b sono, perciò, 200 e 173.

Applichiamo, adesso, il teorema di Carnot, ossia:

100² = b² + a² - 2 ab cos ϑ

Ma, sappiamo che cos ϑ = b/200

da cui:

100² = b² + a² –  a b²/100

a² - 100²  + b² –  b²a/100 = 0

(a + 100)(a – 100) – (b²/100)(a – 100) = 0

(a – 100)(a + 100 – b²/100) = 0

La soluzione a = 100 è da scartare perché ϑ sarebbe uguale a 45°, cosa impossibile. Resta, perciò:

(a + 100 – b²/100) = 0

a = b²/100 - 100

a = (b/10)² - 100

Perché a sia intero è obbligatorio che b sia un multiplo di 10, ma sappiamo che esso può variare solo tra 173 e 200. Ne segue che b può assumere solo due valori: o 180 o 190.

Da cui si hanno i due valori corrispondenti di a:

a = 261    b = 190          (3ϑ = 54.6°)

a = 224    b = 180          (3ϑ = 77.5°)

I due possibili perimetri sono

p1 = 100 + 261 + 190 = 551

p2 = 100 + 224 + 180 = 504

La figura che segue mostra i due triangoli