Ecco la soluzione tanto sospirata del Teorema di Arogatip.

Come sappiamo dalla Storia,  Arogatip non riuscì a generalizzare il teorema di Pitagora, estendendolo a triangoli qualsiasi.

Tuttavia, pur non riuscendo a riscontrare relazioni significative tra i quadrati costruiti sui lati, ebbe l'acume di notare che, collegando i vertici dei quadrati adiacenti, si venivano a formare interessanti triangoli.

In questo modo:

La cosa che particolarmente attirò la sua attenzione fu che, tracciando la mediana  da un vertice  del triangolo assegnato si scomponeva il triangolo dato ( in giallo)  in due parti molto somiglianti a quelle che si ottenevano tracciando la mediana del triangolo  contrapposto al vertice (in viola).

La dimostrazione che la sua sensazione fosse corretta è contenuta in questa figura.

 

I due angoli indicati con “alfa” sono uguali perché DC è perpendicolare a AC e MH è perpendicolare a AH

I due angoli indicati con “beta” sono uguali perché  DC è perpendicolare a AC e NK è perpendicolare a DK

Per il secondo criterio di congruenza ( 2 angoli e il lato compreso uguali) DMC e CNA sono congruenti  e i due triangoli rosa sono sovrapponibili.

Il medesimo ragionamento vale per i due triangoli azzurri EMC e CNB

Vale poi l'uguaglianza CM = AN = NB che equivale a dire che N è il punto medio di AB

e anche l'uguaglianza CN = DM = ME che equivale a dire che M è il punto medio di DE

Il ragionamento è il medesimo per uno qualsiasi dei tre triangoli interposti tra i quadrati.

Abbandonando la riprovevole abitudine di imbrattare i muri di casa con le sue elucubrazioni, Arogatip si costruì un modellino a componenti mobili con cui frequentemente  si dilettava  (e costringeva  familiari e servi di casa  a dilettarsi)  nella ricostruzione dei movimenti che testimoniavano al di là di ogni ragionevole o irragionevole dubbio, che l'area dei triangoli in gioco era la medesima.

Abbiamo ricostruito per voi questo progenitore della computer graphics in modo che possiate apprezzare la genialità del nostro amico.

Il tutto sembrerebbe avere un lieto fine... Il problema è che mentre Arogatip si compiaceva di mostrare a tutti la sua dimostrazione, il fratello, mai abbastanza sazio della propria gloria, si nascose dietro al modellino e, non visto, inserì un nuovo meccanismo che era addirittura più semplice ancora. Il giorno dopo, i visitatori stavano aspettando la bellissima animazione, ma, invece, videro un movimento repentino e scattante dei tre triangoli, mentre Pitagora, con sguardo ironico e compiaciuto, iniziò a spiegare il suo "tricorno di rotazione" (così lo chiamò). Al grido di meraviglia dei presenti seguì uno scatto giustificato di Agoratip che , in un baleno, distrusse il modello e -si dice- non volle più vedere un triangolo in vita sua.

Qui di seguito il "trucco"  del fratello un po' troppo saputello...

Nella figura che segue sono indicati i lati uguali  tra loro (lati dei quadrati costruiti sui lati del triangolo verde).

Basta solo ricordare che la mediana di un triangolo divide il triangolo in due parti uguali.

Facendo ruotare contemporaneamente i tre triangoli (rosa, azzurro e giallo) di 90° si ottiene il tricorno pitagorico. Infatti:

rosa = verde, azzurro = verde, giallo = verde

e quindi:

rosa = azzurro = giallo = verde

P.S.: Come ovviamente avrete capito tutti, la leggenda è solo una ... leggenda. Tuttavia, la configurazione "pitagorica" che abbiamo studiato viene chiamata configurazione di Vecten, matematico francese del XIX secolo, ed è stata seguita da numerosi studi geometrici, poco noti, ma oltremodo interessanti. Un vero "mondo" matematico sommerso. Per averne un'idea (o per immergersi al suo interno) cliccate su questo link...

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20figure%20de%20Vecten.pdf