Caccia al tesoro */**** (NEW: cambio di domanda)
Il vecchio pirata Musonero, ormai in pensione, riesce a trovare, in un vecchio forziere, un documento che spiega come trovare un tesoro che sembrerebbe proprio l'ideale per fargli passare i suoi ultimi anni ricco e tranquillo. Il tesoro si troverebbe sull'Isola X, sconosciuta ai più, ma non a Musonero, la cui esperienza di marinaio è eccezionale. Nessun problema per lui è recarsi nell'isola e ormeggiare la sua barca B nell'unica spiaggia P. A questo punto, tira fuori il documento e legge:
"Giunto sull'isola, devi raggiungere la forca in legno che ha visto decine di pirati a penzoloni. Da quel punto vai in linea retta al grande fico F e conta bene i passi che fai. Girati a destra di 90° e, andando sempre in linea retta, percorri lo stesso tratto che unisce la forca con il fico. Segna per bene questo punto (A). Torna indietro fino alla forca e procedi in linea retta verso il gigantesco olmo O, contando bene i passi. Come fatto precedentemente gira di 90°, ma, questa volta, verso sinistra e procedi in modo rettilineo per lo stesso numero di passi compiuti tra la forca e l'olmo. Segna bene anche quel punto (B). A metà strada tra il punto A e il punto B si trova il tesoro".
Musonero si guarda attorno, vede il grande fico e il gigantesco olmo, ma non vede assolutamente la forca. Tutto ciò che vede sull'isola sono un piccolo vulcano spento V e una spada S.
Musonero non si perde d'animo e ci pensa sopra a lungo. Poi ha l'illuminazione! Ma sì, è facilissimo...
La leggenda dice che Musonero fosse stato bravissimo in geometria prima di diventare pirata.
Eccovi la mappa dell'Isola X.
Dimostrare che il tesoro può essere trovato senza conoscere -apparentemente- la forca.
QUI la soluzione
12 commenti
Il fico è una pianta semisucculenta e, per quanto grande, i suoi rami non hanno sufficiente resistenza per impiccare un pirata, anche magro.
L'olmo, invece, potrebbe essere una ottima forca...
Posso assicurarti che la forca esisteva, ma non coincideva con gli alberi. Probabilmente, è stata distrutta da fenomeni atmosferici intensi. Sai queste isole sperdute non sono mai sicure...
Il punto in cui era sotterrato il tesoro è indicato su questa mappa:
Lo si deduce logicamente dal fatto che Musonero è riuscito a trovarlo senza sapere dove fosse realmente la forca.
Ciò significa che qualsiasi ipotesi sulla sua posizione porta comunque al risultato.
Quindi scelgo di collocare arbitrariamente la forca nel punto intermedio tra olmo e fico.
Seguendo poi il procedimento indicato, trovo i punti A e B e infine il punto "x" a metà di AB. E' qui che bisogna scavare.
Naturalmente questa deduzione logica risponde alla richiesta "Volete segnare chiaramente il punto in cui era sotterrato il tesoro?" ma non spiega il ragionamento geometrico fatto dal geniale pirata per capire che non aveva bisogno di sapere dove si trovasse la forca,
Quindi direi che il quiz continua con questa nuova domanda... Come ha fatto e come si può dimostrare ?
Beh... è abbastanza ovvio sapere anche perché Musonero poteva disinteressarsi della forca, sempre che l'abbia fatto...
In pratica tu mi dici che la posizione della forca non conta e che quindi i punti A e B sono sempre quelli ? Se è così bisogna provarlo... non si può partire conoscendo il finale della storia per effettuare la dimostrazione. E' come se conoscendo che la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa si utilizzi questa affermazione (tesi) per dimostrarla. Mettiamola così...
Dimostrare che il tesoro può essere trovato senza conoscere -apparentemente- la forca.
In realtà i punti A e B non sono sempre gli stessi ma è il punto medio del segmento ad essere sempre il medesimo.
Concordo con il cambio di domanda, come avevo scritto nel commento precedente.
In attesa di una soluzione ortodossa ti presento questa che mi pare funzioni
Scelgo come base la configurazione ( in rosso) che assegna alla forca la posizione P intermedia tra O e F.
I punti A e B si trovano rispettivamente a distanza da F e da O pari a OF/2, come già visto.
Assumo come origine degli assi il punto P e modifico la posizione di P in P' lungo l'asse verticale (figura di sinistra). Dalla similitudine dei triangoli rettangoli consegue che pur variando i punti A e B in A' e B', il punto X è rimasto fisso.
Nella seconda figura (a destra) modifico la posizione di P in P'' lungo l'asse orizzontale. Anche in questo caso la similitudine dei triangoli rettangoli porta a concludere che, pur variando le posizioni di A e B in A'' e B'', il punto X rimane fisso.
In conclusione sia gli spostamenti orizzontali che quelli verticali del punto P non modificano la posizione di X.
Dato che qualsiasi spostamento di P si può scomporre secondo una componente orizzontale ed una verticale, posso eseguire lo spostamento verticale e poi quello orizzontale senza che cambi la posizione di X.
A questo punto non ti resta che lasciar perdere i casi particolari e dimostrarlo per un punto P qualsiasi dell'isola.
Nella figura la mia proposta di soluzione.
I triangoli nelle due coppie sono uguali poiché hanno 2 angoli ed un lato uguali.
Riferisco la posizione di T rispetto al segmento FO.
La verticale rispetto a FO del punto medio tra A e B passa per il punto medio tra R e S.
Il punto medio tra R e S è anche il punto medio tra F e O poiché RS si ottiene prolungando FO a destra e sinistra di c.
La distanza di T da FO è la media delle distanze di A e B da FO: (a+b)/2=d/2
Quindi la posizione della verticale di T rispetto a FO e la distanza di T da FO non dipendono dalla posizione del punto di partenza P.
Complimenti a Maurizio per l'intuizione della indipendenza dal punto P.
Bravi Mau e Fabry! Avete dimostrato il teorema di Bottema, che si riferisce a un triangolo ABC qualsiasi e ai due quadrati costruiti su due lati adiacenti al vertice C. Potete portare dove volete C, ma il punto del tesoro non cambia mai...
Il tesoro si trova in ogni caso sull'asse del segmento FO a distanza FO/2 dalla linea che congiunge i due alberi.
Mi auguro che il disegno con le didascalie risulti sufficientemente chiaro perché tra i preparativi per la festa di compleanno di un nipotino e i vari lavori in corso per predisporre l'imminente partenza per la Sardegna, (sistemare irrigatori per le piantagioni dei giardini pensili di Babilonia, bagagli e vettovaglie, predisposizione documenti vari da non dimenticare a casa, controlli auto della carovana, etc etc.. ) mi resta pochissimo tempo a disposizione per ulteriori interventi.
Vedo che Fabrizio è stato ancora una volta più veloce e sintetico ... Bravo !