Questo articolo è inserito in "Disegnare in tre dimensioni: tra storia e pratica"

 

Prospettiva

Prendendo spunto dal racconto  i miei umani   pubblicato recentemente da Gatto Nelson e da una serie di articoli di Enzo sulle tecniche della prospettiva mi è venuta la balzana idea di produrre una animazione che mostrasse cosa vedono un gatto ed il suo socio umano mentre, insieme, si muovono alla medesima velocità, osservando sul pavimento il disegno di un quadrato  disposto nel modo raffigurato qui sotto:

Si tratta quindi di produrre una serie di immagini prospettiche abbinando i due punti di vista, di altezza notevolmente diversa (160 cm e 20 cm).

La cosa non è particolarmente difficile, seguendo le illuminanti spiegazioni di Enzo su come si disegna in prospettiva.

Ma, un po' per pigrizia e un po' per curiosità, mi sono proposto di automatizzare queste operazioni, riflettendo sui rapporti che esistono tra le coordinate "a terra" dei vertici del quadrato (sul cosiddetto piano geometrale) e le corrispondenti coordinate sullo schermo (il quadro prospettico) su cui compaiono davanti al nostro sguardo.

Seguendo questi ragionamenti ho così ottenuto le relazioni desiderate, che mi hanno consentito di generare immediatamente le coordinate necessarie per costruire i fotogrammi della animazione.

 

Trasformazione delle coordinate dal piano geometrale al piano del quadro prospettico

Concentrando l'attenzione su un punto, la scena si presenta in questo modo:

L'occhio dell'osservatore posto nel punto V vede il punto P sul piano geometrale, attraverso lo schermo (quadro prospettico). il punto che si materializza sullo schermo è P'.

Osservando lateralmente la scena vediamo questo:

La coordinata y del punto P e la corrispondente y' del punto P' sono legate dalla similitudine tra i due triangoli PBV e POP'

y' : y = H : (D+y)             in cui H è l'altezza dell'occhio dell'osservatore dal piano orizzontale e D è la distanza (BO) della sua base B dallo schermo.

abbiamo quindi la prima relazione di trasformazione:  y' =  y * H / (y+d)

Osservando la scena dall'alto, vediamo questo:

Dalla similitudine dei triangoli PCB e PCP' scriviamo:

BC : CP =  B'C' : C'P   ossia  x : (y + D) =  (x- x') : y   da cui  x' =  x -  xy  / (y+D)  e infine      x'  = x  * D/(Y+D) 

Quindi i descrittori della trasformazione sono :

x' = x * D/(y+D)      e       y' =  y *  H/(y+D)

 

Da un punto isolato a un quadrilatero

Passiamo quindi da un singolo punto ad una famiglia di punti, come quella costituita dai quattro vertici del quadrato su cui uomo e gatto dovranno aguzzare la vista.

Questi punti significativi  A B C D sono individuati dalle rispettive coordinate sul piano geometrale, con origine nel punto O.

Il vertice A avrà le stesse coordinate dell'origine.

Ora introduciamo  la seguente semplificazione: immaginiamo che il gatto si posizioni esattamente in linea con l'uomo, praticamente camminandogli tra le gambe (cosa del tutto naturale per lui, come ben sanno i conviventi umani di questi animali). In tal modo la visione che avranno del punto A sarà la medesima. Tuttavia nella animazione presenteremo le due  visuali affiancate,  per evitare la confusione dovuta alla loro sovrapposizione.

Ora le formule di trasformazione (molto semplici ) sono a nostra disposizione e non ci resta che fornire ordinatamente gli input necessari.

Simuleremo un percorso di 8 passi in avanti seguiti da 8 passi all'indietro, partendo da una di stanza iniziale dallo schermo di 6 metri.

L'altezza dello sguardo dell'uomo sarà di 160 cm, quella del gatto di 20 cm.

Per ogni quartetto di coordinate A B C  D  a terra  calcoleremo ad ogni passo il quartetto di coordinate A' B' C' D'  sullo schermo per ambedue gli osservatori e questo si tradurrà ogni volta in una doppia immagine di quadrilateri prospettici. Cuciremo poi la sequenza di immagini per avere l'animazione.

Questo è il risultato del calcolo:

A titolo di controllo ho anche  eseguito il disegno della prospettiva per l'ultimo passo (visione uomo) con il metodo dei punti misuratori ottenendo una soddisfacente conferma delle coordinate risultanti, come facilmente si verifica confrontando l'ultima riga (azzurra) dei calcoli.

 

Ed ecco infine l'animazione...

da cui si capisce che il gatto deve avere una super-vista per compensare il fatto di avere un orizzonte otto volte più basso di quello umano.

Umano (blu)                                            Felino (rosa)

 Evviva i GATTI !!!

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Il presente articolo ha superato la severissima revisione della professoressa Tigrotta, vera mente scientifica del blog, per la quale il prof. Zappalà è solo un prestanome. Le figure disegnate "a zampa" sono opera sua.