Una e una sola e non almeno una.

 

Come prevedibile, Maurizio e Andy si sono scatenati nella soluzione del quiz... Tuttavia, vorrei riportare la soluzione in modo comprensibile a un numero più alto possibile di lettori, basandomi solo sulla logica molto particolare di questo interessantissimo quiz. Consideriamo, quindi, questo articolo, e quello che seguirà, come un esercizio di logica, comprensibile da chiunque lo segua passo dopo passo.

Ne consegue che la spiegazione non può superare due soli asterischi. Non spaventatevi, allora, e seguitemi in una descrizione alla portata di tutti coloro che hanno ancora la capacità e la voglia di riflettere un pochino...

Il punto chiave di tutto può essere sintetizzato dalla frase: "Non bisogna cercare una strategia operativa che permetta ALMENO una risposta corretta, ma quella che comporti sempre UNA E UNA SOLA risposta corretta". Anche se non sembra subito chiara, la differenza è enorme e fondamentale per la salvezza dei prigionieri.

La frase precedente può anche essere riscritta in modo equivalente e forse ancora più comprensibile: "Se la  strategia utilizzata permettesse di ottenere due o più risposte esatte, date da più di un prigioniero, permetterebbe anche il caso in cui non ne sia  data nessuna ".

La strategia da adottare deve, quindi, evitare del tutto la possibilità di avere più di una risposta esatta, dato che in tal caso potrebbe anche accadere che non ne venga data nessuna.

Detto in parole ancora più povere: è obbligatoria una sola risposta SICURA, non due, NON SEMPRE possibili.

Dimostriamo quanto detto limitandoci al caso più semplice:

due soli prigionieri, A e B.

Ciò vuole anche dire che i cappelli possono essere di sue soli colori (ad esempio bianco e nero).

Che strategia potrebbero concordare i due prigionieri PRIMA che i cappelli siano inseriti sulle loro teste?

Una possibilità potrebbe essere quella di assumere che il proprio cappello abbia lo stesso colore di quello dell'altro. Ad esempio, se A vedesse un cappello nero sulla testa di B, direbbe che anche lui ha un cappello nero. La stessa strategia sarebbe usata da B, che se vedesse un cappello nero su A direbbe anche lui che ha un cappello nero. Questa strategia permetterebbe ai due prigionieri di dare la risposta in modo contemporaneo, dato che il colore del capello del compagno sarebbe visibile nello stesso momento per entrambi.

La strategia funzionerebbe? Purtroppo no...

Quante possibili configurazioni esistono in questo semplice caso? Quattro in tutto:

(1) A ha un cappello bianco, B ha un cappello bianco

A vede un cappello bianco su B e quindi dice che ha un cappello bianco

B vede un cappello bianco su A e quindi dice che ha un cappello bianco

A dice bianco, B dice bianco.

Sia A che B danno la risposta esatta.

(2) A ha un cappello nero, B ha un cappello nero

La situazione è analoga a quella precedente, ma con il colore nero per entrambi.

A dice nero, B dice nero.

Sia A che B danno la risposta esatta.

(3) A ha un cappello bianco e B uno nero

A deve dire nero, mentre B deve dire bianco

Entrambe le risposte sono sbagliate

I prigionieri vengono "eliminati".

(4) A ha un cappello nero e B un cappello bianco

A deve dire bianco e B deve dire nero.

Entrambe le risposte sono sbagliate.

Cosa è successo? La strategia usata dà la soluzione esatta SOLO una volta su due (se preferite, ha solo il 50% di riuscita). Perché? Solo e soltanto perché presenta, per due di quattro configurazioni, una sovrapposizione di risposte giuste e, di conseguenza, anche una sovrapposizione di risposte sbagliate (due su quattro). Ogni prigioniero ha giocato bene le sue potenzialità, ossia il suo 50% di probabilità di riuscita, ma  nel momento sbagliato, ossia non ha escluso la possibilità di dare la risposta giusta  CONTEMPORANEAMENTE al suo "collega".

In altre parole, è obbligatorio far sì che quando A dà la risposta giusta, il suo collega B la dia sbagliata.  Proprio in questa logica sta la novità del quiz: non si richiede la salvezza di qualcuno in particolare, ma quella dell'intero gruppo. La strategia deve imporre che non ci possa mai essere la sovrapposizione di due o più risposte esatte da parte di uno o più prigionieri. Se questo capitasse, vorrebbe dire che esisterebbero configurazioni tali da obbligare a dare solo TUTTE risposte sbagliate. Il caso di due soli prigionieri lo ha mostrato in modo semplice ed esaustivo.

In modo molo empirico è abbastanza facile trovare la strategia giusta nel caso di sue soli prigionieri. A, ad esempio, dice di avere SEMPRE il cappello dello stesso colore di quello di B, mentre B dice di avere SEMPRE il cappello del colore opposto a quello di A.

Vogliamo controllare se questa strategia funziona veramente? Presto fatto... riprendiamo i quattro casi possibili

(1) A ha un cappello bianco, B ha un cappello bianco

A vede un cappello bianco su B e deve dire di averlo anche lui bianco. B vede un cappello bianco su A e deve dire di averlo nero.

A dice bianco, B dice nero

La risposta di A è giusta, mentre quella di B è sbagliata.

(2) A ha un cappello nero, B ha un cappello nero

A dice di averlo nero, B dice di averlo bianco

La risposta di A è giusta , mentre quella di B è sbagliata

(3) A ha un cappello bianco e B uno nero

A dice di averlo nero, B dice di averlo nero

La risposta di A è sbagliata, mentre quella di B è giusta

(4) A ha un cappello nero e B un cappello bianco.

A dice di averlo bianco, B dice di averlo bianco

La risposta di A è sbagliata, mentre quella di B è giusta

Molto bene! La nuova strategia è stata VINCENTE. Nessuna sovrapposizione di risposte giuste e, di conseguenza, nessuna sovrapposizione di risposte sbagliate. Ogni prigioniero ha dato la risposta giusta (due volte su quattro) nel momento giusto, ossia proprio quando il collega dava la risposta sbagliata.

Una soluzione che sembra, però, applicabile solo al caso di due prigionieri. Come poterla generalizzarla al caso di dieci prigionieri? Sembrerebbe impossibile... a meno di non descrivere in modo diverso la strategia utilizzata nel caso di due soli prigionieri.

Fermiamoci qui, pensateci sopra e la prossima volta passeremo all'azione!