La serie dedicata alle Numerazioni non decimali è inserita in Matematica e Geometria

 

Con molta fantasia e attenzione vediamo di parlare delle numerazioni con basi diverse. In pratica, facciamo nascere i numeri.

Tra i prigionieri con cappelli di colore diverso e gli strani e divertenti abitanti del pianeta Krull, mi è venuto in mente che non abbiamo mai trattato le numerazioni con base diversa da 10. Sì, ne abbiamo accennato e a volte abbiamo anche usato il sistema binario, che tanto piace al computer, ma l'abbiamo sempre dato come cosa conosciuta a tutti. In realtà, cambiare la base della numerazione non è impresa difficile, ma spesso capita di confondersi e perdere il filo dei calcoli. Ho deciso, perciò, di riempire questo "buco" parlando proprio della nascita dei numeri.

Sarà un articolo estremamente banale nella prima parte, dove lasceremo correre un po' la fantasia. Poi entreremo nel vivo della questione.

Sappiamo che i sumeri già usavano simboli per descrivere i numeri, ma noi facciamo un passo indietro e cerchiamo di immaginare come si è potuto arrivare a calcolare la quantità delle cose. In poche parole come si sono costruiti i numeri e come sono nate le operazioni tra di essi.

Ciò che è avvenuto, probabilmente, attraverso secoli noi cercheremo di riassumerlo in una singola giornata, o poco più, visitando tre luoghi abitati dall'homo che stava diventando "sapiens", anche senza smartphone, e dall'homo che si rese conto di poter utilizzare le macchine per far i calcoli, guadagnando tempo preziosissimo per poter pensare. Non oso immaginare cosa si inventerà l'homo per cercare aiuto nelle macchine al solo scopo di non pensare più, ma non credo si dovrà aspettare molto per saperlo.

Facciamo un salto nel passato e raggiungiamo una caverna dove abita il vecchio capo del villaggio. Uomo, venerato dai suoi sudditi per le imprese compiute da giovane, ha doti eccezionali. Sa disegnare sulle pareti e sa utilizzare simboli per rappresentare le "cose" della Natura che lo circonda: uomini, donne, fiori, animali e perfino le luci del Cielo. In poche parole, sa già descrivere la qualità delle cose.

Probabilmente, a quei tempi gli uomini non sapevano ancora emettere suoni articolati che potessero essere considerate parole, per cui il disegno era l'unica risorsa per farsi capire. Disegni sempre più belli e complicati, ma in cui le "cose" erano ancora considerate poche o tante. Niente era ancora capace di rappresentare la quantità. Eccoci, allora, al giorno fatidico in cui il vecchio saggio inventò i numeri!

Si deve sapere che il capo amava moltissimo le conchiglie ed era felice quando gli abitanti del villaggio gliene regalavano qualcuna. Le teneva da parte come un tesoro e ne aveva tante, tante, tante... sì, ma quante?

Quella celebre mattina, si accinse ad accogliere i visitatori con le loro conchiglie, deciso, dopo una notte insonne, di inventare il modo per quantificarle. Si guardò le mani e cominciò ad agitare le dita. Se teneva i pugni chiusi non ne vedeva alcuna, ma poteva alzarle una alla volta. Ogni dito alzato poteva significare una conchiglia in più. Doveva, ovviamente, tenere le mani libere per raccoglier i regali, ma non vi era nessun problema: avrebbe disegnato le sue mani su una tavola di pietra, simulando l'alzata delle dita. La Fig. 1 illustra ciò che capitava.

Il saggio prendeva una conchiglia alla volta, la metteva da parte e disegnava il dito sollevato.

Arrivò, però, un momento critico. Lui aveva ricevuto tante conchiglie quante dita poteva sollevare (e disegnare). Come poteva andare avanti senza più dita a disposizione?

Ci pensò sopra e poi decise: ci voleva un nuovo simbolo che indicasse tutte le dita delle due mani. In tal modo poteva mettere via il gruppo di conchiglie che gli aveva completato le dita e abbinargli il nuovo simbolo. Ne scelse uno abbastanza indicativo come mostra la Fig. 2.

Quando le dita erano tutte alzate, raccoglieva le conchiglie, le metteva da parte con il nuovo simbolo su una nuova tavola di pietra, cancellava la prima tavola  e poteva continuare a ricevere nuovi regali avendo ormai le due mani libere con tutte le dita piegate e la tavola su cui (Fig. 3) poteva ripartire coi pugni chiusi. La pietra con il nuovo simbolo stava ad indicare le conchiglie già ricevute e messe da parte.

La faccenda poteva continuare per un bel po', ma non per sempre... Infatti, nessun problema a disegnare un nuovo simbolo "due mani con le dita alzate" nella tavola corrispondente, ma prima o poi ce ne sarebbero stati molti, ben di più di quelli che poteva contare con le dita della mano. Insomma, un bel pasticcio... Avrebbe potuto inventare un nuovo simbolo per segnare che aveva  raggiunto un numero di "due mani con le dita alzate" uguale al numero delle dita... ma poi? un nuovo simbolo? No, no, troppo complicato^(*).

Il vecchio ebbe, però, un'idea brillante. Ben vengano i simboli per ogni dito sollevato, ma poi poteva usare nuovamente quegli stessi simboli per indicare anche che le dita delle mani erano state tutte alzate. In pratica, poteva usare la nuova tavola per disegnare gli stessi simboli di quella originaria, dove indicava le dita che venivano alzate.

In tal modo, quello che importava di più era su quale tavola disegnasse i suoi simboli. La tavola originaria era quella in cui a ogni dito alzato corrispondeva una conchiglia; la seconda tavola era quella in cui a ogni dito alzato corrispondeva un numero di conchiglie pari a quelle di due mani con le dita tutte alzate;  la terza era quella in cui a ogni dito alzato corrispondeva una seconda tavola già completata; e via dicendo. Non era poi così  difficile e avrebbe potuto permettergli di aggiungere conchiglie senza alcun limite.

In pratica, il vecchio avrebbe disegnato le singole dita alzate sulla prima tavola. Quando avesse avuto tutte le dita sollevate avrebbe disegnato un dito alzato nella seconda tavola e avrebbe nuovamente avuto tutte le dita disponibili nella prima tavola per le nuove conchiglie. Ovviamente, quando avesse alzate tutte le dita della seconda tavola tante volte quante erano le dita delle due mani, avrebbe potuto cominciare a segnare le dita su una terza tavola. Ogni tavola avrebbe potuto contenere tanti gruppi di conchiglie quante fossero le dita delle due mani. Nel testo ho parlato di prima, seconda tavola, ecc. Più giustamente il vecchio l'avrebbe ancora indicate con simboli diversi

Non è ovviamente facile disegnare i vari passaggi, soprattutto quello dalla seconda alla terza tavola. Tuttavia, guardando le tavole il saggio avrebbe avuto la rappresentazione grafica di quante conchiglie avesse avuto in regalo. In poche parole, aveva inventato i NUMERI.  In Fig. 4 si riportano due numeri, il cui significato è scritto sotto. Ovviamente, ho chiamato A, B e C le tre tavole, ma il vecchio aveva usato un simbolo particolare per ciascuna di esse.

Un altro vecchio saggio, di un paese molto lontano, fece la stessa identica cosa, ma anziché utilizzare tutte le dita delle due mani si limitò a quelle di una sola mano. Ovviamente, doveva avere più tavole a disposizione, dato che il completamento di ciascuna di esse avveniva più in fretta. La strategia era comunque del tutto simile a quella del primo vecchio saggio. Il vantaggio era quello di usare meno simboli; lo svantaggio quello di usare più tavole di pietra.

Numero di dita e simboli grafici... il gioco stava tutto lì.

Si dice che alcuni popoli utilizzassero anche le dita dei piedi per limitare l'uso delle tavole, altri che usassero solo due simboli. Anzi, quest'ultima possibilità è stata quella che le macchine costruite dall'homo ormai molto sapiens riuscivano a capire. In particolare a loro importava ben poco delle tavole di pietra (usavano ben altro), mentre era fondamentale usare solo due simboli che potevano significare , ad esempio, il SI e il NO, una lampadina accesa o spenta, e via dicendo. Povere macchine... non molto intelligenti, da un lato, ma estremamente veloci dall'altro!

Ciò che più cambio col passare del tempo furono i simboli usati... prima le dita, ma poi strani segni che divennero quelli più in uso presso di noi europei.

Vediamo in Fig. 5 alcuni simboli  a partire da quelli del nostro vecchio saggio fino ai giorni nostri:

La strategia operativa restava sempre la stessa, mentre erano cambiati i imboli che rappresentavano le dita alzate.

La prossima volta seguiremo nuovamente la procedura del vecchio saggio, ma con i nuovi simboli grafici e vedremo come la scelta del numero totale di dita da sollevare è una caratteristica che non deve assolutamente spaventare. Lo faremo con le dita di una sola mano e con il linguaggio delle macchine

continua...

(*) In realtà, i romani usarono qualcosa di simile.: X, L, C, D, M ....