L'aritmetica dei Krull è inserita in Matematica e Geometria

 

L'aritmetica dei Krull 3: una semplice dimostrazione assiomatica

C'è sempre qualche terrestre che mette in dubbio che 1 +1 faccia 2, così come c'è sempre qualche Krull che mette in dubbio che A+B faccia C.

Tutto il Cosmo è galassia.

Cosa vuol dire, maestro, che tutto il Cosmo è galassia?

Significa che, sotto sotto, anche con un numero di mani e di dita diversi, abbiamo molte cose in comune, nel bene e nel male, per esempio con i terrestri.

Ho capito, quindi possiamo confrontarci anche su cose che sembrano diverse.

Proprio così e in questa lezione faremo le cose “in parallelo” proprio per confrontarci.

Come si potrebbe convincere i dubbiosi e i bastian contrari che 1 + 1 = 2 e che A + B = C usando le semplici definizioni contenute negli assiomi di Peà?

Nell'aula dei bimbi Krull cade il silenzio assoluto.

Cercate di non rispondere tutti assieme, ragazzi...C'è forse qualche volontario che vuole tentare una dimostrazione? Mi raccomando, non spingetevi perché nella calca potreste farvi male.

Va bene, ho capito, ve lo spiego io. Vi ricordate di Peà, quell'amico di Aristot?

Rivediamo i suoi assiomi, di cui avevamo parlato nell'episodio precedente:

1. esiste un numero senza dito che si chiama ZERO
2. dopo ogni dito c'è un altro dito ( il suo successore “s”)
3. ogni dito ha un successore diverso
4. ZERO non è il successore di nessuno
5. Mettendo insieme ZERO e il successore di ogni successore abbiamo tutti i possibili numeri.

Vi dico subito che ci basterà usare solo il primo e il secondo assioma.

Per Peà la somma è definita da:

a + 0 = a

a+ s(b) = s(a + b)      dove s(...) è la funzione “successore di (...)”

Allora, venendo ai numeri dei terrestri:

1 + 1 = 1 + s(0)       perché 1 è il successore di 0 per definizione

1 + s(0) = s(1 + 0)   per il secondo assioma

s(1 + 0) = s(1)         per il primo assioma

s(1) = 2                   per definizione.

La catena di queste uguaglianze inizia con 1 + 1 e termina con 2.   

                                      Quindi 1 + 1 = 2

 

Avendo visto la dimostrazione valida per i terrestri, ora dovreste essere capaci di scrivere la nostra.

Arrivano un paio di coraggiosi... Proviamo noi, Maestro !

A + A = A + s(Z)         perché A è il successore di Z

A + s(Z) = s(A + Z)      per l'assioma B

s(A + Z) = s(A)            per l'assioma A

s(A) = B                     per definizione.

Magnifico ! Come vedete funziona per noi Krull come per i Terrestri.

Una volta arrivati a questa conclusione possiamo estenderla a tutte le somma e dire che 1 + 2 = 3      o se preferite che A + B = C

e anche ...      2 + 2 = 4           equivalente a B + B = D, frase molto usata anche da noi.

Ora, qualcuno sa dirmi perché A + D non può fare meno di E ?

Io lo so ! Per l'assioma che dice che ogni dito ha un successore diverso!

Se A + D facesse meno di E ci sarebbe lo stesso successore per D e per un altro numero più piccolo che lo precede.

Vero! E se facesse di più di E ?

Non può succedere per il medesimo motivo. Ci sarebbe un numero più grande che ha il medesimo successore di un numero più piccolo.

Bene, bene.. Mi pare che questo assioma vi sia ben familiare. O qualcuno ha dei dubbi? Se è così si faccia sentire, siamo qui apposta.

Può darsi che continui anche questa volta.

P.S. Ricordate le ruote del convertitore di Peà?                                                                                                                                                                                        Alla fine Blaise Pascal le ha messe insieme con altre che si era procurato in questo ordigno, chiamato pascalina , capace di  fare somme e sottrazioni con riporto automatico.

La puntata precedente la potete trovare qui