Categorie: Matematica
Tags: logica pandigitale pazienza polidivisibile quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
Un numero molto speciale (* - ****)
Questo quiz necessita di conoscenze matematiche veramente elementari, da cui un solo asterisco. Tuttavia, spesso e volentieri certe regole si dimenticano e la loro applicazione non è sempre banale. Ne seguono i 4 asterischi.
La soluzione, inoltre, NON vuole la forza bruta, ossia dobbiamo escludere tentativi ripetuti. D'altra parte, andare per tentativi è assolutamente sconsigliabile, dato che le possibilità da verificare superano i tre milioni.
Poniamo, allora, alcune regole:
Non si possono eseguire moltiplicazioni o divisioni, a parte quelle che ci servono per costruire la tavola pitagorica, che è molto meglio conoscere, anche se, in realtà, potrebbe essere costruita attraverso somme.
Ovviamente, non sono ammessi calcolatrici online né tanto meno programmi: solo somme e sottrazioni fatte a mano.
Ciò che è veramente importante è il ragionamento e la logica.
Veniamo al quiz...
Trovare il numero di dieci cifre che sia pandigitale e polidivisibile.
Nessuna paura per questi due aggettivi. Sono semplici da spiegare.
Il numero da trovare è composto da 10 cifre intere diverse. In poche parole, le cifre che lo compongono sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Questa proprietà ci dice che il numero finale è pandigitale.
Le cifre possono essere messe in qualsiasi ordine, ma il numero composto dalle prime n cifre deve essere divisibile per n. Ciò comporta un numero finale polidivisibile. In altre parole, le prime n cifre (per n qualsiasi) formano un numero divisibile per n.
Indichiamo il numero in questo modo:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
Le Xi devono essere cifre intere e diverse tra loro. Il numero composto dalle prime n cifre deve essere divisibile per Xn, ossia il numero X1 X2 X3 deve essere divisibile per 3; X1 X2 X3 X4 X5 X6 deve essere divisibile per 6; e via dicendo...
Come già detto, le regole da seguire permettono solo facili somme e sottrazioni, ma nessuna moltiplicazione o divisione (al limite si può usare la tabellina pitagorica). Il numero finale è uno e uno solo e, un po' alla volta, con logica e buona memoria si deve arrivare alla soluzione.
I metodi da adottare sono probabilmente diversi. Il solito premio speciale a chi compie meno passaggi.
QUI la soluzione
7 commenti
Per come rappresentato sopra il numero interpreto X1 come la cifra più significativa e X10 come quella meno significativa. Corretto?
Si Fabry
Non garantisco sulla correttezza dei passaggi e sulla sequenza trovata, perché tutti 'sti numeri mi hanno lasciato un po' "brillo"...
La sequenza di numeri sarà del tipo: a b c d e f g h i j
Ma siccome l’intera cifra dovrà essere divisibile per 10, allora j = 0;
inoltre dovendo essere a b c d e divisibile per 5 ed essendo lo slot j occupato da 0, avremo che e = 5
per cui la sequenza assume i connotati di:
a b c d 5 f g h i 0
Ma deve anche essere che
ab/2, abcd/4, abcdef/6, abcdefgh/8 ( il simbolo / sta per “divisibile”)
si deduce che: {b, d, f, h} sono pari, e i rimanenti {a, c, e, g, i} sono dispari, o ciò che è lo stesso, i pari si alternano ai dispari e viceversa.
a b deve essere pari con a dispari, allora b = 2, 4, 6, 8;
in più, per il criterio di divisibilità del 3, a + b + c = multiplo di 3 con a dispari, b pari, c dispari
a = 1, 3, 7, 9
b = 2, 4, 6, 8
c = 1, 3, 7, 9
Le possibili combinazioni sono:
a b c
1 2 3
1 2 9
3 2 1
3 2 7
3 8 1
3 8 7
7 2 3
9 6 3
9 8 1
Però è anche vero che abcd/4 , per cui c d deve essere un multiplo di 4 con c dispari e d pari →
cd = 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92, 96
La sequenza a b c d sarà allora
a b c d
1 2 3 6
1 2 9 6
3 2 1 6
3 2 7 6
3 8 1 2
3 8 1 6
3 8 7 2
3 8 7 6
7 2 3 6
9 6 3 2
9 8 1 2
9 8 1 6
Continuando, 5 f per essere divisibile per 6, deve essere pari e multiplo di 3 → 5 f = 54 (30 + 24 entrambi pari e divisibili per 3 secondo tabellina)
a b c d e f
1 2 3 6 5 4 1+2+3+6+5+4 = 21
1 2 9 6 5 4 1+2+9+6+5+4 = 27
3 2 1 6 5 4 3+2+1+6+5+4 = 21
3 2 7 6 5 4 3+2+7+6+5+4 = 27
3 8 1 2 5 4 3+8+1+2+5+4 = 23
3 8 1 6 5 4 3+8+1+6+5+4 = 27
3 8 7 2 5 4 3+8+7+2+5+4 = 29
3 8 7 6 5 4 3+8+7+6+5+4 = 33
7 2 3 6 5 4 7+2+3+6+5+4 = 27
9 6 3 2 5 4 9+6+3+2+5+4 = 29
9 8 1 2 5 4 9+8+1+2+5+4 = 29
9 8 1 6 5 4 9+8+1+6+5+4 = 33
9 8 1 2 5 4 9+8+1+2+5+4 = 29
In rosso le sequenze fino alla sesta cifra non divisibili per 6.
Rimangono da collocare per g = 1, 3, 5, 7, 9
ma siccome g h / 8 → g h = 16, 32, 56, 72, 96
a b c d e f g h
1 2 3 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
1 2 9 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
3 2 1 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
3 2 7 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
3 8 1 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
3 8 7 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
7 2 3 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
9 8 1 6 5 4 (16, 32, 56, 72, 96)
In rosso le sequenze con ripetizione dello stesso numero.
Rimangono allora:
a b c d e f g h
3 8 1 6 5 4 7 2
9 8 1 6 5 4 3 2
9 8 1 6 5 4 7 2
Assegnando la cifra dispari rimanente e lo zero finale:
a b c d e f g h i j
3 8 1 6 5 4 7 2 9 0
9 8 1 6 5 4 3 2 7 0
9 8 1 6 5 4 7 2 3 0
A questo punto dovrei verificare la divisibilità per 7 delle prime sette cifre della sequenza, che comporta più iterazioni; preferisco affidarmi ad un congettura:
suddivido le sequenze per gruppi, le prime sei cifre e le successive tre escludendo lo zero, in maniera tale che i gruppi stessi siano contemporaneamente divisibili per 3 e per 9:
3+8+1+6+5+4 = 27 divisibile per 3 e per 9, 7+2+9 = 18 divisibile per 3 e per 9
9+8+1+6+5+4 = 33 divisibile per 3 ma non per 9, 3+2+7 = 12 divisibile per 3 ma non per 9
9+8+1+6+5+4 = 33 divisibile per 3 ma non per 9, 7+2+3 = 12 divisibile per 3 ma non per 9.
La sequenza con i requisiti richiesti dovrebbe allora essere:
a b c d e f g h i j
3 8 1 6 5 4 7 2 9 0
Bravo Andy, ottimo ragionamento, non so se si può essere più succinti
Non posso che dire lo stesso ... Ottimo Andy. A parte piccole differenze nella prima parte, quella che ho usato io risolve il caso del 7 nel modo "standard" (anche se ce ne sono molti). Lasciamolo ancora un giorno a bagno maria.
Esistono diversi criteri per determinare la (eventuale) divisibilità di un qualsiasi numero secondo una determinata cifra. Ma ne esiste uno per così dire “universale”, cioè in grado di verificare la divisibilità di qualunque numero secondo una qualunque cifra.
Piccola premessa: qualsiasi numero può essere “visto” come somma di altri due o più numeri;
ad esempio il numero 5 è il risultato di 4+1, ovvero 2+2+1, ovvero 1+1+1+2, etc.
Ora, ragionando all’inverso, qualunque numero si può ridurre (e nei casi di perfetta divisibilità, azzerare), operando delle sottrazione successive.
Ad esempio, poniamo il caso che non si conosca il criterio di divisibilità per 3, e si voglia verificare se il numero 203001 è divisibile per 3. Dispongo la sequenza delle cifre:
2 0 3 0 0 1
considero le prime due partendo da sinistra (2 e 0) e cerco il multiplo di tre che si avvicina di più al 20 dal “basso”, ovvero 18; dispongo il 18 sotto il 20, riempio le caselle vuote con altrettanti zeri e opero una prima sottrazione:
2 0 3 0 0 1 -
1 8 0 0 0 0 =
_________
2 3 0 0 1
continuo con lo stesso metodo:
2 3 0 0 1 -
2 1 0 0 0 =
_______
2 0 0 1 -
1 8 0 0 =
_______
2 0 1 -
1 8 0 =
_______
2 1 -
2 1 =
_______
0
Già al 21 mi sarei potuto fermare perché multiplo “noto” di 3; ovviamente continuando si arriva all’azzeramento del numero di partenza.
Tutto questo “ambaradan” per testare la divisibilità secondo il numero 7 delle sequenze (sino alla settima cifra) precedentemente dedotte; partendo dalla prima:
3 8 1 6 5 4 7 -
3 5 0 0 0 0 0
___________
3 1 6 5 4 7 -
2 8 0 0 0 0 =
___________
3 6 5 4 7 -
3 5 0 0 0 =
___________
1 5 4 7 -
1 4 0 0 =
___________
1 4 7 -
1 4 0 =
___________
7
9 8 1 6 5 4 3 -
9 8 0 0 0 0 0
____________
1 6 5 4 3 -
1 4 0 0 0
____________
2 5 4 3 -
2 1 0 0
____________
4 4 3 -
4 2 0
____________
2 3
9 8 1 6 5 4 7 -
9 8 0 0 0 0 0 =
____________
1 6 5 4 7 -
1 4 0 0 0 =
____________
2 5 4 7 -
2 1 0 0 =
____________
4 4 7 -
4 2 0 =
____________
2 7
P.S.
Piccola curiosità: la metà dell'unico numero pandigitale e polidivisibile a base 10 è anch'esso pandigitale (ma non polidivisibile):
1 9 0 8 2 7 3 6 4 5
grazie Andy... ma per il 7 ci sono metodi più veloci...