La risposta di Andy al quiz è stata perfetta, ma propongo un'altra soluzione che di poco differisce e che fa uso di uno dei tanti criteri per scoprire la divisibilità per 7 (forse il più rapido...)

X1  X2  X3  X4  X 5  X6  X7  X8  X9  X10

Cominciamo a considerare il numero completo. Esso deve essere divisibile per 10. Ma un numero divisibile per 10 deve avere la sua ultima cifra uguale a 0. Il numero composto dalle prime 5 cifre deve essere divisibile per 5. Un numero del genere può terminare solo con 0 o 5. Ma 0 è già stato usato, per cui la quinta cifra deve essere un 5:

X1  X2  X3  X4  5  X6  X7  X8  X9  0

Questo semplice ragionamento ha già ridotto di molto le possibilità che ora sono solo 8! = 40 320.

Le prime due cifre devono dare un numero divisibile per 2, le prime 4 un numero divisibile per 4, le prime 6 uno divisibile per 6 e le prime 8 uno divisibile per 8. Il che vuol dire che questi numeri devono essere pari, ma se sono pari la loro ultima cifra deve essere pari. Ne segue che la seconda, la quarta, la sesta e l’ottava devono essere pari:

X1  P1  X3  P2  5  P3  X7  P4  X9 0

Rimangono, perciò, a disposizione solo cifre dispari, da cui:

D1  P1  D2  P2  5  P3  D4  P4  D5  0

Consideriamo, adesso, le prime 4 cifre. Esse devono formare un numero divisibile per 4. Perché questo accada è necessario che il numero formato dalle sue ultime due cifre sia divisibile per 4.

D1 P1 D2 P2 divisibile per 4

D2P2 divisibile per 4

Ma sappiamo anche che la prima cifra di questo numero composto da due cifre deve essere dispari e diversa da 5. Le uniche possibilità sono le seguenti:

12, 16

32, 36

72, 76

92, 96

Il che comporta che la quarta cifra P2 può essere solo 2 oppure 6.

D 1  P1  D2  2  5  P3  D4  P4  D5  0            .... (1)

D1   P1  D2  6  5  P3  D4  P4  D5  0            .... (2)

Passiamo al numero composto dalle prime 6 cifre.

Di questo numero sappiamo che le prime 3 cifre devono dare un numero (D1P1D2) divisibile per 3, il che vuole anche dire che la somma delle sue cifre (D1 + P1 + D2) deve essere un multiplo di 3.

Il numero composto dalle prime 6 cifre deve essere divisibile per 6, il che vuol dire che deve anche essere divisibile per 3 e quindi la somma delle sue 6 cifre deve essere un multiplo di 3.

Questo fatto comporta che anche il numero composto dalla quarta, quinta e sesta cifra (2 5 P3) diano luogo a un numero la somma delle cui cifre sia multiplo di 3 (2 + 5 + P3 = multiplo di 3)

Se il risultato utile fosse (1) avremmo che

2 + 5 +  P3   multiplo di 3

Ma 2 + 5 = 7, quindi P6 può solo essere 6, 4 o 8

Somma = 2 + 5 + 4 = 11   NO

Somma = 2 + 5 + 6 = 13   NO

Somma = 2 + 5 + 8 = 15 SI

Se, invece, il risultato fosse il (2), P3 potrebbe essere solo 2, 4 oppure 8

Somma = 6 + 5 + 2 = 13 NO

Somma = 6 + 5 + 8 = 19 NO

Somma = 6 + 5 + 4 = 15 SI

Ne segue che la (1) e la (2) diventano

D1  P1  D2  2  5  8  D4  P4  D5  0            .... (1)

D1  P1  D2  6  5  4  D4  P4  D5  0            .... (2)

Passiamo alle prime 8 cifre. Il numero corrispondente deve essere divisibile per 8. Affinché un numero sia divisibile per 8 è necessario che le ultime tre cifre diano luogo a un multiplo di 8:

8  D4  P4  multiplo di 8

4  D4  P4  multiplo di 8

** 800 e 400 sono sicuramente multipli di 8. Ne segue che D4P4 deve essere multiplo di 8

Ricordiamo anche che D4 non può essere 5.

Per la (1) troviamo:

816, 832, 872 e 896

Ma 832 e 872 sono impossibili perché 2 è già stato usato. Ne segue che D4 P4 = 1 6 o 9 6

Per la (2) troviamo:

416, 432, 472 e 496

Ma 416 e 496 sono impossibili perché 6 è già stato usato. Ne segue che D4 P4 = 3 2 o 7 2

Rimangono, perciò, 4 opzioni:

D1  P1  D2  2  5  8  1  6  D5  0            .... (1a)

D1  P1  D2  2  5  8  9  6  D5  0            .... (1b)

 

D1  P1  D2  6  5  4  3  2  D5  0            .... (2a)

D1  P1  D2  6  5  4  7  2  D5  0            .... (2b)

Tutte e quattro le possibilità hanno una sola posizione occupabile da un numero pari (P1). Esse, perciò, diventano

D1  4  D2  2  5  8  1  6  D5  0            .... (1a)

D1  4  D2  2  5  8  9  6  D5  0            .... (1b)

 

D1  8  D2  6  5  4  3  2  D5  0            .... (2a)

D1  8  D2  6  5  4  7  2  D5  0            .... (2b)

In ogni caso ci rimangono da piazzare tre cifre dispari:

Per 1a abbiamo 3, 7 e 9

Per 1b abbiamo 1, 3 e 7

Per la 2a abbiamo 1, 7 e 9

Per la 2b abbiamo 1, 3 e 9

Consideriamo le prime tre cifre. Esse devono formare un numero multiplo di 3 e, quindi, la somma delle cifre deve essere multiplo di 3.

1a)     3 + 4 + 7 = 14 NO

7 + 4 + 9 = 20 NO

3 + 4 + 9  = 16 NO

1b)     1 + 4 + 7 = 12   SI

1 + 4 + 3 = 8    NO

3 + 4 + 7 = 14  NO

Segue che D1 = 1 o 7 e D2 = 7 oppure 1

2a)      1 + 8 + 7 = 16   NO

1 + 8 + 9 = 18    SI

7 + 8 + 9 = 24 SI

Segue che sono possibili 4 casi: 189, 981, 789, 987

2b)    1 + 8 + 3 = 12   SI

1 + 8 + 9 = 18  SI

3 + 8 + 9 = 20  NO

Sono possibili nuovamente 4 casi: 183, 381, 189, 981.

In conclusione i casi plausibili diventano dieci in tutto (siamo partiti da più di 3 milioni).

14725 89630

7412589630

1896543270

9816543270

7896543210

9876543210

1836547290

3816547290

1898547230

9816547230

A questo punto, con solo dieci numeri, potremmo usare la forza bruta e considerare il numero composto dalle prime 7 cifre e dividerlo per 7. Troveremmo un solo risultato accettabile. Volendo essere elementari fino in fondo, non ci resta che applicare il criterio di divisibilità per 7.

Esso dice che il numero n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 è divisibile per 7 se e solo se: (n1 n2 n3 n4 n5) + (n1 n2 n3 n4 n5) + (n6 + n7) è divisibile per 7

Ovviamente il risultato delle somme può essere troppo grande per permetterci la divisione per 7. Poco male. Basta prendere la somma così ottenuta e ripetere la procedura per quante volte è necessario per arrivare a un numero che sia compreso nella tabellina pitagorica.

Facciamo un esempio con 14725 89(630)

14725 + 14725 + 89 = 29539

295 + 295 + 39 = 629

6 + 6 + 29 = 47   NO

Solo il numero 3816547(290) Risulta divisibile per 7, come mostra il breve calcolo che segue.

3816547

38165 + 38165 + 47 = 63777

637 + 637 + 77 = 1351

13 + 13 + 51 = 77    = 70 + 7  SI

L’unica soluzione è allora:

3816547290