Non è da molto che abbiamo descritto il nuovo metodo trigonometrico, ideato da due studentesse liceali, per dimostrare il teorema di Pitagora. Sappiamo anche che esistono circa 370 metodi capaci di fare lo stesso e che nell'opera si sono cimentati grandi scienziati e capi di stato. Questa volta voglio mostrarvi un metodo geometrico veramente carino che si basa su un ... mulino ad acqua!

La figura che segue mostra un mulino ad acqua "reale", in cui sono presenti molte "pale" che, riempiendosi d'acqua, si spostano verso il basso a causa della gravità, lasciando spazio alla nuova pala.

Il nostro mulino è molto semplificato e ha solo quattro pale di forma triangolare che ruotano solidalmente con un quadrato centrale. Vediamo di costruirlo...

Prendiamo un bel triangolo rettangolo di cateti a e b e di ipotenusa c. Costruiamo i quadrati dei cateti e dividiamo in quattro quello relativo al cateto maggiore b. Otteniamo la Fig. 1

Prendiamo i quattro triangoli che formano il quadrato di area b² e andiamo a sistemarli attorno al quadrato di area a², ottenendo, in Fig. 2, un vero e proprio mulino ad acqua! Ogni "pala" ha area b²/4.

Tracciamo il segmento c, che è proprio l'ipotenusa del triangolo di partenza. Per simmetria si dimostra facilmente che il segmento rosso è anch'esso uguale a c (Fig. 3)

Tracciamo gli altri tre segmenti uguali a c e costruiamo il quadrato dal contorno rosso, di lato c (Fig. 4)

Il quadrato di lato c contiene 4 "pezzi" dei triangoli di area b²/4, mentre gli rimangono dei triangoli "vuoti". Nessun problema! I quattro triangoli vuoti possono essere riempiti ESATTAMENTE dalla parte rimanente, esterna, dei triangoli rosa di area b²/c, come mostra la Fig. 5. I due triangoli verdi sono infatti uguali.

Otteniamo così la Fig. 6, dove il quadrato c è completamente coperto, attraverso le 4 aree rosa che altro non sono, per costruzione, uguali, ciascuna,  a b²/4.

Non ci resta che scrivere:

c² = a² + 4 b²/4

Ossia il teorema di Pitagora:

c ²= a² + b²

c.v.d.

Carino, vero?!