Goniometri frazioni e formiche di Langton

 

Il Goniometro è conciso

Adiabatico e preciso

Anche se a qualcuno è inviso… Mai non perde il suo sorriso.

Oggi la prendiamo un po' alla larga.. Ma nella giornata del Goniometro è giusto che qualcuno ne parli.

Non sapevate che oggi è la giornata del Goniometro?

Bene ora lo sapete, anche se Google non gli ha fatto il doodle e alla TV non ha detto nulla nessuno.

Chi lo ha deciso? L'ho deciso io, naturalmente, stufo di vedere che si inventano la “giornata del Fusillo integrale” o dell'alga Spirulina, e del Goniometro non si ricorda nessuno.

Ebbene, prendete il goniometro , compratevelo, fatevelo prestare da vostro cognato, poi mettete il vostro CD preferito, fate una bella circonferenza col compasso, tracciate un diametro di quelli che passano per il centro e posate delicatamente il goniometro in modo che il suo centro si trovi sulla circonferenza e la sua linea di base sia allineata sul diametro.

Ora segnate sulla circonferenza tre punti distanziati l'un l'altro di un angolo di 120°, tirate una bella corda tra i primi due punti e domandatevi cosa succederebbe se la circonferenza riflettesse quella linea come uno specchio riflette un raggio di luce.

Certamente avrete visto con gli occhi della mente il triangolo equilatero che verrebbe percorso infinite volte dai fotoni e magari anche da tutte quelle particelle parassite di cui parla ogni tanto il Professore.

Questo succede perché 360/120 = 3. I punti colpiti sono sempre quei tre, ad ogni giro.

Ma se l'angolo non fosse un sottomultiplo di 360°? Succederebbe che i punti di rimbalzo continuerebbero a variare ad ogni giro e (forse) il raggio non tornerebbe mai sugli stessi punti di circonferenza già toccati. Oppure no? Magari potrebbe succedere che dopo tanti giri vada a finire nel  punto di partenza e poi ripeta ciclicamente il percorso già fatto. Chi lo sa?

Se proprio fate fatica a immaginarvi questi rimbalzi... guardate qui:

Pensandoci solo un momento, verrebbe da dire che se il rapporto 360°/Angolo ha un numero finito di decimali, il ciclo si ripeterà dopo un certo numero di giri. Ad esempio, se traccio l'angolo di 160° e divido 360°/160° ottengo 2,25. Ossia 2 giri e un quarto. Allora, ripetendo questo valore per 4 volte il “quarto di giro” risulta moltiplicato per 4 e alla fine il raggio avrà fatto 8 giri più un giro intero, in tutto 9 giri. Quindi dopo 4 cicli, che sono 9 giri, il raggio torna a visitare tutti i punti già toccati e questi punti sono in tutto 9.

Certo che se l'angolo, invece di 160° fosse 63°, vediamo... se con la calcolatrice faccio 360°/63°, viene uguale a 5,7142857142857142857172857 , magari lo scrivo 5,(714285) così si capisce meglio che mi sono accorto che quei decimali si ripetono in continuazione. Ma se quei numeri si ripetono per sempre, il raggio continuerà a sbattere su punti sempre diversi, senza mai ritornarci sopra.

In ogni caso, un numero periodico a volte ha anche un antiperiodo, come se, prima di decidersi, si guardasse un po' intorno, come certi scapoli prima del matrimonio.

Ecco un numero periodico con antiperiodo: 8,43555555555 o se volete: 8,43(5).

Se ne possono inventare quanti se ne vogliono, siamo sicuri che esistono sempre. Uno si mette lì e scrive il numero che vuole, con l'antiperiodo e il periodo. Garantito che esiste.

Ma da quali rapporti nascono questi numeri? Quale numeratore e denominatore (a parte i loro multipli) consentono di generarlo

E' possibile scoprirlo.

Per il numero 8,43(5) ad esempio:

8,43(5) = ( 8435-843 ) / 900 = 7592/900

Il metodo per risalire alla frazione originaria esiste, non è segreto e trovate pure la dimostrazione in ogni dove, su internet. Non chiedetemi di copiarla qui per voi.

Il risultato della divisione è qualcosa di totalmente deterministico perché la frazione di origine detta la regola che genere la sequenza periodica, magari preceduta dall'antiperiodo, e questa regola potremmo considerarla come la personalità profonda di un individuo, che persiste ed emerge in continuazione.

Visto tutto ciò, siamo pronti per parlare di formiche, cominciando da quella di Langton, che dovete assolutamente conoscere.

A proposito, non è curioso che anagrammando Langton si ottenga Long ant ?

La formica di Langton, nata nei primi anni 80, è un esempio di automa cellulare guidato da poche regole, solo due, ma pur essendo così elementare, esibisce tutte le peculiarità di un sistema che ostinatamente riesce a portare a termine il suo obiettivo.

Questa formica ha una “idea fissa”: costruire una specie di autostrada, e niente riuscirà ad impedirglielo, neppure il fatto di porre sul suo cammino ostacoli da aggirare. Dopo un certo tempo avrà ricostruito con le sue due regolette, le condizioni per tracciate una struttura altamente organizzata e lineare.

Ecco una animazione che mostra le sue tracce in quattro momenti diversi del suo girovagare.

Lo spazio bidimensionale in cui si muove il caparbio insetto è costituito da una matrice di celle, una griglia di quadretti su cui può spostarsi in ognuna delle 4 direzioni cardinali ( su giù sinistra destra).

Le celle possono essere bianche o nere, e cambiare colore un numero indefinito di volte.

Prima regola: se la formica è su una cella nera,

gira a destra di 90°,

inverte il colore della cella,

si sposta in avanti di una cella.

Seconda regola: se è su una cella bianca,

gira a sinistra di 90°,

inverte il colore della cella ,

si sposta in avanti di una cella.

Assolutamente elementare, soprattutto se alla partenza le celle sono tutte dello stesso colore. Nella animazione potete constatare che il suo moto iniziale , apparentemente caotico, perdura per circa 10.000 mosse (come fosse un lungo antiperiodo), poi ineluttabilmente si forma un loop periodico di spostamenti che nella loro composizione generano una configurazione estremamente ordinata e prevedibile, una vera autostrada.

Il fatto più sorprendente è che anche se lo spazio iniziale invece che essere di un solo colore, contiene celle bianche e nere distribuite in qualsiasi modo, sembra (è una congettura perché fino ad ora non è stata trovata una dimostrazione formale) che le due regole permettano sempre a questa figlia di una imenottera, di realizzare il suo progetto finale di costruzione della autostrada.

Anche se provate a creare una interferenza dinamica, mettendo in azione più formiche nella stessa zona, il reciproco disturbo non impedisce che le loro “autostrade” riemergano in continuazione.

A    questo indirizzo   trovate una sterminata collezione di formiche generate in tutti i linguaggi di programmazione possibili. Con una manciata di istruzioni, si riesce a raffigurare indefinitamente la traiettoria degli spostamenti.

Esistono anche molte varianti alle regole base che introducono una complessità maggiore, con celle il cui colore varia tra molti possibili, dando origine a schemi complessi: trovate diversi esempi in questo    video .

Certamente vi sarà capitato qualche volta di vedere lunghe colonne di formiche che agiscono come guidate da una mente collettiva, senza perdere la direzione del loro obiettivo, anche se vengono in qualche modo disturbate.

L'articolo pubblicato in questa pagina sul loro comportamento in situazioni di emergenza, come una epidemia, conferma che questa intelligenza collettiva esiste e c'è da domandarsi se alla sua origine non vi siano altro che poche, semplici regole, osservate rigorosamente da ciascun individuo.

Un esempio da non sottovalutare?