Il nostro Maurizio sta portando avanti l'interessantissima storia delle persone che hanno contribuito alla Relatività Generale di Einstein. Tutti grandi studiosi, fondamentali, per aiutare il genio di Einstein. Tra loro, forse, non sentirete parlare di tale Georg Alexander Pick, che nel 1911 era presidente presso l'Università tedesca di Praga e fu lui a nominare Einstein professore di fisica matematica. Non solo, però... Fu proprio Pick a introdurre  Einstein ai lavori di Gragorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita, relativi al calcolo differenziale assoluto, che permisero ad Einstein di formulare matematicamente la sua teoria, già ben chiara fisicamente nella sua testa.

Tuttavia, noi non parleremo di Relatività Generale e nemmeno di calcolo differenziale, ma di un ben diverso contributo di Pick. Un contributo sicuramente meno eclatante, ma pur sempre una geniale intuizione.

Iniziamo da lontano... introducendo la Fig. 1.

In essa è rappresentato un poligono ABCDEFG che ha la caratteristica di avere numeri interi come coordinate dei suoi vertici. A causa di ciò, possiamo benissimo tracciare un reticolo di punti relativi a ogni punto del piano che abbia coordinate intere. I vertici del poligono devono, perciò cadere esattamente in punti del reticolo. A questo punto vogliamo calcolare l'area del poligono. Bene, è facile asserire un dato di fatto ben noto:

Ogni poligono può essere suddiviso in triangoli, la cui area può essere trovata aggiungendo o togliendo rettangoli e/o triangoli rettangoli, la cui ipotenusa non abbia punti sulla griglia, tranne i suoi vertici.

Nella Fig. 2 abbiamo diviso il nostro poligono in 5 triangoli e, lateralmente, abbiamo espresso l'area dei triangoli come somma e/o differenza di rettangoli e triangoli rettangoli. Bene, nessun problema, anche se ci vuole un po' di riflessione e calcolo. Notiamo che AFQ e GFQ hanno in realtà punti della griglia sulla loro ipotenusa, ma possono benissimo essere scomposti in rettangoli e triangoli opportuni (due triangoli rettangoli senza punti dell'ipotenusa sulla griglia e un rettangolo). Lo stesso vale per ADG. L'asserzione precedente vale quindi in modo generale.

Fatemi scrivere una formula:

A = i +p/2 - 1                               .... (1)

A è l'area del poligono, i è il numero di punti del reticolo che sono interni al poligono e p è il numero di punti del reticolo che stanno sul confine del poligono. I punti "i" li indichiamo con pallini rossi e quelli "p" con pallini neri in Fig. 3

Nel nostro caso:

A = 7 + 9/2 - 1 = (14 +9 - 2)/2 = 21/2 = 10.5

Ammettiamolo... la formula appena applicata riduce di molto il tempo di calcolo e crea molta meno confusione. Chi vuol provare, può calcolare le aree come descritto lateralmente nella Fig. 2 e confrontare il risultato.

Ho già visto qualcuno che dondola il capo dubbioso. Bene, a lui chiedo di calcolare l'area dello strano poligono di Fig. 4

o il bellissimo fiocco di neve riportato in Fig. 5.

Il nostro amico se la sente di scomporre tutti i triangoli della figura o reputa più conveniente utilizzare la formula (1)? Mi sa che si è convinto!

Bene, la formula (1) è stata ideata proprio da Pick nel 1899 ed è stata accolta con grande entusiasmo.

Ma siamo sicuri che sia valida sempre? Anche per poligoni concavi?

La risposta è SI e cecheremo di dimostrarlo in tre fasi. Ovviamente, devono valere le ipotesi di partenza sulla posizione del poligono qualsiasi nel reticolo.

Prima di cominciare, però, ricaviamo in modo un po' empirico le relazioni che esistono tra lunghezze dei lati e punti interni e di confine. Abbiamo bisogno di figure complesse? Nemmeno per sogno, ci bastano rettangoli e triangoli rettangoli, dato che abbiamo visto che ogni poligono può essere ottenuto proprio attraverso la somma o differenza di rettangoli e triangoli rettangoli.

Cominciamo con il rettangolo... In Fig. 6 disegniamo, nel nostro reticolo, qualche rettangolo di dimensioni crescenti. Chiamiamo x e y la lunghezza dei suoi lati...

Quanti saranno i punti interni? La formula è presto scritta:

i = (x-1)(y-1)

E i punti del perimetro?

p = 2x + 2y

Verifichiamolo...

Rettangolo con x = 3 e y =2

i = 2 x 1 = 2

p = 6 + 4 = 10

perfetto!

Rettangolo con x = 4 e y = 3

i = 3 x 2 = 6

p = 8 + 6 = 14

Potete provare con qualsiasi altro rettangolo, ma la relazione è sempre valida. Si può anche capire perché valgano queste relazioni, ma noi possiamo prenderle per buone, come un dato di fatto.

Proviamo, allora, a vedere se la formula di Pick dà il risultato corretto nel caso generico. Si abbia un rettangolo di lati x e y e applichiamogli la formula:

A = (x - 1)(y - 1) + 1/2(2x + 2y) -1

A = (xy - x - y + 1) + (x + y) - 1

A = xy - x - y + 1 + x + y - 1 = xy

perfetto. L'area del rettangolo risulta proprio base per altezza.

Proviamo, adesso con un triangolo rettangolo che, non abbia punti della griglia sulla sua ipotenusa, tranne che i vertici.

Prima di agire, troviamo le relazioni tra punti interni e di contorno con le dimensioni x e y dei due cateti . Esse sono

i = (x-1)(y -1)/2

il che è abbastanza ovvio, ma basta provare per credere...

p = x + y + 1

ricordando che l'ipotenusa deve avere solo i due vertici coincidenti con punti della griglia. Basta allora sommare x e y e aggiungere 1 che è relativo al punto di partenza.

Proviamo la formula di Pick per il triangolo rettangolo:

A = (x - 1)(y - 1)/2 + (x + y + 1) /2 - 1

A = (xy - x - y + 1)/2 + (x + y + 1 )/2 - 1

A = (xy - x - y + 1+ x + y + 1 - 2)/2

A = xy/2

che è proprio l'area del triangolo.

A questo punto dobbiamo ricordare quanto detto all'inizio:

Ogni poligono può essere suddiviso in triangoli, la cui area può essere trovata aggiungendo o togliendo rettangoli e/o triangoli rettangoli la cui ipotenusa non contenga punti del reticolo.

Il che significa che

se dimostriamo che la formula di Pick è additiva ne risulta che può essere applicata a qualsiasi poligono si voglia, dato che qualsiasi poligono può essere suddiviso in triangoli e questi possono, a loro volta, essere suddivisi in rettangoli e triangoli rettangoli, senza punti della griglia sulla loro ipotenusa.

Infatti, abbiamo appena dimostrato che la formula vale per i rettangoli, ma anche per qualsiasi triangolo che può essere SEMPRE suddiviso in rettangoli e triangoli senza punti della griglia sull'ipotenusa.

Consideriamo perciò un certo poligono che abbia "i" punti interni e "p" punti di contorno. Tracciamone una sua diagonale e otteniamo due poligoni con un lato coincidente. Questo lato coincidente contenga z punti di reticolo, compresi quelli di contorno.

La formula per l'intero poligono P vale:

AP = iP + cP/2 - 1

Dopo la divisione nei due poligoni Q e R possiamo scrivere:

AP = ( iR + iQ + z - 2) + ((pR - z) + (pQ - z) + 2)/2 - 1

I punti interni di P sono sicuramente quelli interni a Q più quelli interni a R. A questi però vanno aggiunti quelli che stanno sulla linea di divisione tra i due poligoni R e Q, ossia z; a cui vanno, però, tolti i punti di confine di questa linea che sono sempre 2. I punti di confine di P si trovano sommando pR e pQ a cui vanno però tolti i punti di contorno di R e Q che sono stati aggiunti tracciando la linea di divisione in Q e R. Bisogna, però, ricordare che due punti devono rimanere, ossia quelli che cadono comunque nel contorno di P.

Cerchiamo di capire bene questa formula, utilizzando la Fig. 7.

P è il poligono azzurro iniziale. Quali sono i suoi punti interni? Tutti quelli di R e tutti quelli di Q a cui vanno però aggiunti i punti neri di contorno sovrapposto  tra R e Q, che sono z (nel nostro caso sono 4). Non tutti, però, solo z - 2 per  considerare, ovviamente, quelli di confine che restano tali. Quali sono i punti di confine? Sicuramente quelli di R e quelli di Q, a cui però vanno tolti z punti che non sono di confine per P. Nuovamente, però, non dimentichiamo che due punti di z restano di confine anche per P.

Ecco spiegata la formula precedente (spero...) e possiamo quindi svilupparla meglio, ricordando che essa descrive l'area del quadrilatero P di partenza.

AP = ( iR + iQ + z - 2) + ((pR - z) + (pQ - z) + 2)/2 - 1

AP = iR +  iQ  + z - 2 + pR/2  - z/2 + pQ/2 - z/2 + 2/2 - 1

AP = iR +  iQ  + z - 2 + pR/2  - z/2 + pQ/2 - z/2 + 2/2 - 1

AP = iR +  iQ  - 2 + pR/2 + pQ/2 + 1 - 1

AP = iR +  iQ  - 1 - 1 + pR/2 + pQ/2

AP = (iR +  pR/2  - 1)  + (iQ + pQ/2 - 1)

AP = AR + AQ

La formula è additiva!

Per concludere, vi invito a calcolare l'area del fiocco di neve di Fig. 5. Pick lo ha reso possibile solo contando dei punti...