Il presente articolo è inserito in Effetto lente gravitazionale

 

Gli esami di ammissione alla facoltà di Fisica dell'Università di Oxford sono spesso estremamente interessanti e peculiari. Mi ricordano quelli che si tengono alla Normale di Pisa, dove più che il calcolo bruto si stimola a trovare un metodo creativo e fuori dagli schemi che permetta una soluzione decisamente più rapida. In poche parole: tutto ciò che si potrebbe ottenere seguendo le regole canoniche comporterebbe un tempo troppo lungo per la soluzione. Per riuscire a completare l'esercizio nei limiti temporali ammessi è necessaria una soluzione alternativa.

Ho trovato un esercizio proposto ad Oxford che dà una chiara idea di ciò che to dicendo. E' come l'uovo di Colombo, ma -come sempre- bisogna arrivarci...

Problema sulla deflessione della luce secondo la relatività di Einstein:

Consideriamo la semplice figura che segue, dove la luce di una stella viene "piegata" dalla massa M.

Non è difficile immaginare da cosa possa dipendere l'angolo θ. Sicuramente dalla massa M, dalla distanza R e dalla velocità della luce c. 

Tutto ciò va sicuramente moltiplicato per la costante G e per una qualche costante numerica k che possiamo anche lasciare indeterminata. Insomma, qualcosa del genere:

θ = k G M^αR^βc^γ                  .... (1)

Si chiede di determinare i tre esponenti α, β e γ.

N.B.: Chi vuole provare da solo si può fermare qui ...

 

 

Bene... si potrebbe pensare di  applicare la Relatività Generale per determinare la formula richiesta. Sì, sì, ma non ci sarebbe tempo e le difficoltà sarebbero enormi.

Pensiamoci bene... In fondo, non ci viene chiesta la formula esatta, ma solo con quali esponenti si presentano le grandezze fondamentali. Inoltre, anche se non esplicitato è ovvio che l'angolo θ deve essere espresso in radianti.

E proprio qui sta il colpo di "genio": Se θ è espresso in radianti vuol dire che non ha dimensioni. Se non ha dimensioni la parte  sinistra della formula (1), non deve avere dimensioni nemmeno la parte destra. Vediamo, allora, di esprimere con le rispettive dimensioni le grandezze di destra e poi agire di conseguenza.

k non ha dimensioni per le ipotesi di partenza. Passiamo a G.

Se non le ricordiamo a memoria ci vuol poco a calcolarle dalla legge di gravitazione universale:

F = - G Mm/r²

ma = - G Mm/r²

G =- r² a/M

Passiamo alle dimensioni:

[G] = [L]²[L][T]^-2[M]^-1

Dove L si riferisce alle dimensioni, T al tempo e M alla massa

Inseriamo G nella (1) scrivendo anche le dimensioni di ciò che la completa

[θ] = [L]² [L] [T]^-2 [M]^-1 [M]^α [L]^β [L]^γ [T]^-γ

Gli ultimi due termini non sono altro che le dimensioni di una velocità elevata a γ

Non ci resta che raggruppare le dimensioni delle varie grandezze

[θ] = [L]^{(3+β+γ )} [T]^(-2-γ) [M]^{(-1 + α)} 

A questo punto ricordiamoci che θ non ha dimensioni, per cui anche la parte destra non deve avere dimensioni. Perché questo capiti bisogna imporre che ogni esponente delle grandezze di destra diventi ZERO.

Ne segue un semplice sistema di tre equazioni in tre incognite (α, β e γ), proprio quelle che cerchiamo!

3 + β + γ = 0

- 2 - γ = 0

- 1 + α = 0

Da cui

γ = - 2

α = 1

 β =  - 3 -  γ = -1

La formula (1) diventa:

θ = k G M R^-1c^-2  

θ = k G M/(R c²)

Confrontiamola con la formula che deriva dalla relatività generale e vediamo che sono in perfetto accordo!

θ = 4GM/(c²R)

Pochi minuti per un esercizio che avrebbe spaventato chiunque...

 

QUI il racconto di come è stata osservata la lente gravitazionale più famosa della storia della Scienza, ovvero la prima prova sperimentale della Relatività Generale