Grande successo di pubblico, questa volta... Che la geometria cominci a piacere? Speriamo...

La mia versione è oltremodo didattica e contempla passaggi che potevano essere evitati. Ma, come sempre, è meglio abbondare!

Iniziamo col rispondere alla prima richiesta: dividiamo il quadrato in quattro triangoli di  cui uno sia rettangolo e uno isoscele.

Consideriamo la Fig. 1.

Facendo centro in A, tracciamo il cerchio di raggio AD = l (lato del quadrato). Ogni punto del quarto di circonferenza azzurra tra B e D permette di disegnare un triangolo isoscele, dato che avrebbe due lati uguali di lunghezza l. Tracciamo il semicerchio verde di diametro BC. Ogni punto di esso individua un triangolo rettangolo. Ne segue che l'intersezione O tra il quarto di circonferenza di raggio l e la semicirconferenza di diametro l individua sia il triangolo rettangolo (BOC) sia quello isoscele (BOA).

Rispondiamo adesso alla seconda parte del quiz: Se l'area del quadrato è 10, quanto valgono le aree dei quattro triangoli?

Consideriamo la Fig. 2 e chiamiamo X, Y, Z e W le aree dei quattro triangoli.

Per semplicità assegniamo il valore 1 all'area maggiore W.

Da A tracciamo la perpendicolare a BO (AH) e ci accorgiamo subito che ABH e BOC sono congruenti (due angoli e un lato uguali). Ma ABH (essendo ABO isoscele) e AHO sono congruenti. Ne segue che il triangolo AOB ha un'area doppia di BOC:

W = 2Y

Y = 0.5 W                                                 .... (1)

Consideriamo le aree dei triangoli AOB e AOD. Chiamiamo a l'angolo OAD. Possiamo scrivere:

Z = l · l sin(a) = l² sin(a)/2

W = l · l sin(90 - a) = l² sin(a)/2

Quadrando e sommando:

Z² + W² = l⁴(sin²(a) + cos²(a)) = l⁴/4                 .... (2)

Y + Z = l h/2 + l (l - h)/2 = lh/2 + l²/2 - lh/2 = l²/2            ....(3)

Il passaggio precedente poteva essere evitato, dato che è ovvio che la somma dei due triangoli sia uguale alla meta dell'area del quadrato.

Ovviamente vale anche che:

W + X = l²/2                                  .... (4)

Per cui:

W + X = Y + Z = l²/2                  .... (5)

A questo punto, per risolvere il sistema, poniamo, per semplicità, W = 1

La (2) diventa

Z² + 1 = l⁴/4                         .... (2a)

Tenendo conto della (1), la (3) diventa

0.5 + Z = l²/2                        ... (3a)

Quadrando la (3a) e inserendola  nella (1a), otteniamo:

Z² + 1 = (0.5 + Z)²

Z² + 1 = 0.25 + Z² + Z

Z = 0.75

La (5) può essere scritta:

1 + X = 0.5 + 0.75

da cui:

X = 0.25

La (1) ci dice, infine, che:

Y = 0.5

Sommiamo le 4 aree, in cui abbiamo posto W = 1

X + Y + Z + W = 0.25 + 0.5 + 0.75 + 1 = 2.5

Ma noi sappiamo che la somma deve essere 10 (area del quadrato), per cui moltiplichiamo entrambi i membri per 4:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

da cui:

X = 1

Y = 2

Z = 3

W= 4