(Q) Un triangolo in un cerchio (con soluzione)**
Questo è un esercizio piuttosto semplice che vorrei fosse risolto senza trigonometria o soluzioni analitiche. Come al solito, pura geometria.
Consideriamo una circonferenza di raggio unitario. Tracciamo due diametri ortogonale tra loro (AB e CD). Indichiamo con E il punto di mezzo di CO e uniamo A con E. Il prolungamento di questo segmento tocca la circonferenza in F.
Si chiede di calcolare l'area del triangolo EFD.
Ci sono vari modi per trovare la soluzione, vediamo che trova il più rapido ed elegante.
SOLUZIONE
Non spreco molte parole a dare la soluzione già delineata dal solito, UNICO (o quasi), Andy.
ΔACE simile ΔEFD
AE2/DE2 = SACE/SEFD
AO = r
OE = r/2
SAEO = SACE = (1/2) (r/2) r = r2/4
AE2= EO2 + AO2
AE2= r2/4 + r2 = 5r2/4
ED = EO + OD = ½r + r = 3r/2
ED2 = 9r2/4
r = 1
(5/4) (4/9) = (¼)/SEFD
SEFD = ¼ /(5/9) = ¼ 9/5 = 9/20
4 commenti
Con le similitudini fra triangoli, rapporti tra lati e misure riportate diventa quasi immediato risolvere...
troppo semplice per te...
Caro Enzo,
per diletto, ho svolto il caso più in generale con una circonferenza di raggio r qualunque e dividendo il segmento OC non in due parti uguali bensì in funzione di una frazione di r che ho chiamato q:
Sostituendo al posto di r il valore 1 e al posto di q il valore 1/2 si ottiene, ovviamente, 9/20.
Trascuro i casi limite per q = 0 e q = 1, ma la formula sembra rispettata.
Potrebbe essere interessante il fatto che l’ultima formula per la determinazione dell’area l’area del triangolo DEF si può vedere come un prodotto tra due fattori:
il primo fattore,
mentre il secondo fattore si può guardare come una funzione fratta f(q) nella variabile q.
Riporto il grafico della funzione, incentrando l'interesse nell’intervallo [0 ; 1] perché in tale intervallo ricade un massimo relativo:
Il calcolo della derivata prima di f(q) non è difficile, ma poiché anche f’(q) è un’equazione fratta (con al denominatore un polinomio di quarto grado sempre positivo), ben più complessa è la ricerca dei valori che annullano il polinomio al numeratore che è anch’esso di quarto grado.
Tralascio i passaggi, ma il numeratore di f’(q) ammette 4 soluzioni affinché si annulli, reali solo 2, di cui una negativa (-1, in corrispondenza di un punto di minimo relativo della funzione) ma che geometricamente non avrebbe senso, ed è pure al di fuori dell’intervallo di variazione di q.
Rimane in conclusione da considerare solo la soluzione q ≈ 0.207, in corrispondenza della quale f(q) raggiunge un suo valore massimo relativo,
ovvero, geometricamente, il valore di q che rende massima l’area del triangolo DEF secondo la costruzione proposta nel quiz, sempre per 0 < q < 1.
La tua trattazione è veramente interessante e mostra come un qualsiasi "piccolo" problema geometrico possa portare a sviluppi ben più generali. Grazie!