Categorie: Matematica
Tags: divisione per tre geometria probabilità quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:13
(QI) Da un segmento a un triangolo **/***
Un problema piuttosto semplice che merita tre asterischi solo per chi volesse seguire la via puramente geometrica.
Immaginiamo di avere un segmento di lunghezza d. Tagliamolo in tre pezzi qualsiasi, d1, d2 e d3.
La domanda è:
Qual è la probabilità che i tre pezzi così tagliati possano formare un triangolo ?
Vi sono, come sempre, vari metodi per risolvere il problema. Un "bravo" particolare a chi riuscirà a risolverlo per via puramente geometrica (tre asterischi), ricordando una poco conosciuta proprietà dei triangoli.
13 commenti
Mi sembra che il risultato dipenda da come sono ottenuti i tre segmenti.
Faccio due esempi.
Faccio un primo taglio e poi faccio un secondo taglio del segmento rimanente.
Stabilisco a priori dove fare i tagli casualmente in due punti compresi tra 0 e d.
Mi sembra che il secondo modo sia il più 'qualsiasi' del primo.
Quale metodo seguiamo?
Io ho fatto un ragionamento alquanto fantasioso nonché schematico:
https://ibb.co/cYHztwV
Propongo la mia risposta per il caso i tre segmenti d1, d2 e d3 siano originati da due tagli del segmento d posizionati nei punti x e y con i due punti x e y scelti casualmente tra 0 e d.
Qui il collegamento alla risposta.
Utilizzo l'ottima idea di Andy di mettere su due assi x ed y per chiarire la mia risposta.
Collegamento alla figura.
Caro Fabry,
sì intendevo proprio eseguire i tagli contemporaneamente...
Caro Andy,
il tuo metodo grafico va ovviamente bene... Chissà se tu e Fabry riuscirete a trovare un altro metodo grafico impostato solo sulla geometria pura...
La geometria non è il mio forte, spero in Andy che è più capace di me.
Da parte mia aggiungo qui un esempio di come scegliere i tre lati in modo altrettanto casuale del precedente, ma con un risultato completamente diverso. La probabilità di ottenere il triangolo mi risulta doppia rispetto al metodo dei due tagli casuali.
scusa Fabry... ma non capisco bene il tuo ragionamento. Perché si possa ottenere un triangolo oltre ad a + b > c deve essere anche a + c>b e b+ c> a. Qualsiasi tripletto che non soddisfi tutte e tre le condizioni non può formare un triangolo.
Enzo, dalla tua domanda capisco che devo essere più preciso nella spiegazione e nel linguaggio.
Ci provo qui di seguito.
Estraggo casualmente ed in modo indipendente tra loro i valori dei 3 lati d1, d2 e d3 distribuiti in modo uniforme tra 0 e 1.
Definisco c come il massimo tra i tre lati: c=max(d1,d2,d3). Ovviamente c è una variabile casuale compresa tra 0 e 1, ma non ha una distribuzione uniforme. Non determino la sua distribuzione poiché vedremo che non ci servirà per trovare il risultato. Chiamo a e b le lunghezze degli altri 2 lati. Per come le abbiamo definite a<c e b<c. Anche esse sono variabili casuali. Dato un certo valore di c, a e b sono distribuite in modo uniforme tra 0 e c. Usando la simbologia della probabilità p(a|c)=1/c per 0<a<c e 0 altrove, lo stesso vale per b.
La condizione affinché si possa formare il triangolo è a+b>c. Poiché c è maggiore degli altri due, le altre condizioni sono automaticamente soddisfatte. Es. a+c>b è soddisfatta poiché c>b quindi a+c>a+b>b.
La distribuzione di probabilità della variabile casuale s=a+b condizionata ad un particolare valore di c ha la forma di un triangolo equilatero di base 2c e altezza 1/c centrato su s=c. (Formalmente è la convoluzione delle distribuzioni di a e b:=\int_{0}^{1}&space;p_a(a|c)&space;p_b(s-a|c)&space;da)
Poiché l’area della parte destra del rettangolo è la probabilità che s=a+b>c, significa che per un dato c, la probabilità di formare un triangolo è 0,5: p(triangolo| c)=0,5 qualsiasi sia il valore di c
Se la probabilità di ottenere un triangolo è 0,5 qualsiasi sia il massimo tra i tre lati, è 0,5 per qualsiasi estrazione dei 3 lati.
Formalmente:
Per ovviare al problema di come operare i due tagli al segmento originale, parto da un presupposto che appare differente ma in realtà è analogo a quello del quiz:
considero tre segmenti, uno di misura x, uno di misura y, uno di misura z.
Non interessa quale sia il minore, o il mediano o il maggiore, importa solo che abbiano le tre misure indicate con x, y, z.
Disponendoli consecutivi e adiacenti, si otterrà un segmento somma di lunghezza totale L.
A questo punto posso scegliere indifferentemente una delle misure tra i tre segmenti e considerarla complementare ad L rispetto alla somma delle altre due:
Come mostrato nell'immagine, ho scelto come complementare ad L il segmento di misura x.
Per il teorema della disuguaglianza triangolare, la somma di una coppia di lati di un triangolo deve essere maggiore della misura del terzo; e siccome le coppie di lati sono tre, devo strutturare un sistema di tre disequazioni che rispettino la regola.
Ho quindi disegnato un quadrato di lato L in un riferimento di assi cartesiani yz.
Se considerassi solo una disequazione in maniera slegata dalle altre due (ad esempio y + z > L/2) le coordinate di punti coprirebbero i 7/8 dell'area del quadrato;
parimenti se considerassi solo le altre due disequazioni (ad esempio y<L/2 e z<L/2) slegate dalla terza, le coordinate di punti coprirebbero 1/8 dell'area del quadrato;
considerandole invece tutte e tre le disequazioni insieme e legate tra loro, le coordinate di punti coprono 1/8 + 1/8 = 1/4 dell'area del quadrato
cari amici,
io non riesco a vedere questa grande difficoltà nello scegliere a caso tre segmenti la cui somma sia una costante d. Quello che ho pensato è, ad esempio, considerare un triangolo equilatero e scegliere un punto a caso nel suo interno. Le tre altezze, d1, d2 e d3, generano tre segmenti a caso, ma -ed ecco Viviani- la loro somma è sempre uguale a d. Faccio prima a riportare la mia soluzione...
Per quanto riguarda la mia risposta, non c'è nessuna difficoltà nel modo che proponi di scegliere casualmente i tre segmenti d1, d2 e d3. Volevo solo dire che altri metodi di scelta dei segmenti in modo casuale possono portare a risultati differenti.
Probabilmente, Fabry, gli altri metodi implicano delle restrizioni alla scelta...
Ho provato a trovare le distribuzioni di probabilità congiunta dei tre lati. Nella figura riesco a far vedere solo quella di due lati. In effetti il terzo non dà informazioni perché è totalmente vincolato agli altri due.
Il metodo dei 2 tagli produce una distribuzione uniforme, mentre il metodo dei 3 numeri casuali normalizzati in modo che la loro somma dia d produce una distribuzione non uniforme.
Le distribuzioni nella figura le ho ottenute da simulazioni. In effetti quella per i due tagli si può ottenere anche teoricamente, l'altra è più complicata e non ci ho provato.