(Q) Una strada complicata *
Questo quiz è estremamente semplice, ma, visto quanto divulga la nostra RAI TV, può servire a stuzzicare un minimo il ragionamento. Spererei vivamente che non fossero i più esperti a rispondere (almeno per qualche giorno). Forza, fatemi vedere che anche voi siete contrari ai Media-spazzatura!
Una persona deve andare dalla città A alla città B e tornare indietro per la stessa strada. Il percorso da A a B ha una parte in piano, una parte in salita e una in discesa. Ovviamente, la sua velocità nei vari tratti è diversa, maggiore (vD = 72 km/h)) quando è in discesa, minore quando è in piano (vP = 63 km/h) e ancora più piccola quando è in salita (vS = 56). Nei vari tratti, però, la velocità rimane costante. All’andata impiega un tempo tA = 4 ore e al ritorno un tempo tR = 5 ore.
Sapete dirmi quanto è lungo il percorso da A a B?
13 commenti
cari tutti,
posso anche pensare che il quiz sul carrello sia troppo complicato (mi stupisce comunque dopo tutto ciò che ho scritto sul moto circolare, il momento d'inerzia e quello angolare...), ma come è mai possibile che nessuno abbia la capacità di risolvere questo banalissimo quiz? Forza... un piccolo sforzo e non abbiate paura di mettervi in mostra: siamo tra amici...
Una domanda:
è obbligatorio che nel percorso ci sia anche la parte in piano?
caro Dario,
può esserci come non esserci. E' del tutto ininfluente per la soluzione. Avendo data la velocità vP, comunque, è meglio considerarla come esistente.
Boh a me l'ipotesi che i tratti di strada siano 3 porta a un risultato indeterminato. L'unica soluzione si otterrebbe se i tratti di strada fossero solamente 2 . La salita e il piano all'andata e il piano e la discesa al ritorno. In questo modo le incognite si riducono a 2 lunghezze ed il problema si risolve con due equazioni e due incognite. Bravo chi risolve con tre tratti di strada.
Fate attenzione...
NON si chiede quanto siano lunghi i tratti di strada, ma quanto è lunga l'INTERA strada!
Io inizierei con questo ragionamento:
il percorso in andata, più veloce, avrà più discesa, che al ritorno diventerà salita, e richiederà un'ora in più.
Il massimo del percorso che posso fare in andata, se fosse tutta discesa, è 72 km per 4 ore = 288km
Il minimo che posso fare al ritorno nel caso fosse tutta salita, è 56 km per 5 ore = 280km
Per cui la lunghezza AB sarà compresa tra questi due valori...
La distanza richiesta è di 283,5 Km
Si può ricavare questo valore nel seguente modo, come già indicato da Leandro.
Considero un percorso articolato in tre parti andando da A verso B come segue:
salita + piano + discesa indico le tre distanze con X1 X2 X3
I tempi di percorrenza di ciascun tratto sono dati dalla distanza divisa per la relativa velocità
da A verso B X1/56 + X2/63 + X3/72 = 5
da B verso A X1/72 + X2/63 + X3/56 = 4
Impongo X2= 0 Km per il tratto in piano e ottengo un sistema lineare di due equazioni in due incognite
X1/56 + X3/72 = 5
X1/72 + X3/56 = 4
Lo risolvo con il metodo di Cramer ( non scrivo i dettagli dei passaggi ) e ottengo i valori di X1 e X3
X1 = 267,75 X3 = 15,75 Totale percorso = X1+X3 = 267,75 + 15,75 = 283,5 Km
Ora cambio l'ipotesi di partenza e assumo che esista il tratto in piano X2 mentre quello in discesa X3 sia assente, ottenendo questo sistema.
X1/56 + X2/63 = 5
X1/72 + X2/63 = 4
Lo risolvo nello stesso modo di prima e ottengo i valori di X1 e X2
X1 = 252 X2 = 31,5 Totale percorso = X1 + X2 = 252 + 31,5 = 283,5 Km come prima
Scrivo i risultati trovati in questa tabella :
X1 X2 X3
267,75 0 15,75
252 31,5 0
tra la prima riga e la seconda posso inserire configurazioni dei tre valori che diano comunque come somma il totale di 283,5 e rappresentino percorsi misti salita+piano+discesa.
La condizione da rispettare è che, aumentando di A il valore X2, devo diminuire al contempo X1 e X3 ciascuno di A /2.
In tal modo la somma sulla nuova riga rimarrà invariata perché
- A/2*56 + A/63 - A/2* 72 = A ( - 1/112 + 1/63 - 1/144) = 0
Ad esempio una configurazione intermedia che contenga i tre diversi tratti la posso ottenere dalla prima riga aumentando di 20 Km la distanza in piano X2 e diminuendo di 10 Km la distanza di ciascuno degli altri due tratti.
X1 X2 X3
257,75 20 5,75 totale = 283,5 Km
verifico i tempi di percorrenza nei due sensi in questa configurazione:
da A verso B 257,75/56 + 20/63 + 5,75/72 = 5
da B verso A 257,75/72 + 20/63 + 5,75/56 = 4
caro Dario,
il tuo approccio non è male, ma si può essere più precisi... basta non spaventarsi dei numeri. Chi prova trova!
caro Mau,
basterebbe non avere paura dei numeri e tutto si risolverebbe molto velocemente. In fondo, il quiz aveva solo un asterisco...
Va bene, riporto la soluzione più rapida ...
Sommando i due percorsi di andata e di ritorno, coperti in 9 ore
x1( 1/56 + 1/72) + x2( 1/63 + 1/63) + x3 ( 1/56+1/72) = 9
(72+56)/(72*56) * ( x1 + x3) + 2/63 * x2 = 9
2*64 / 63*64 * (x1+x3) + 2/63 * x2 = 9
2/63 ( x1 + x3) + 2/63 * x2 = 9
2 ( x1 + x2 + x3 ) = 9*63
x1 + x2 + x3 = 9*63/2 = 283,5 distanza da A a B
c.v.d.
Mi è venuta in mente questa soluzione:
immaginando che l’intero tratto (T) sia:
T = A + B + C
potremo scrivere due equazioni
1a) A/72 + B/63 + C/56 = 4 ANDATA
2a) A/56 + B/63 + C/56 = 5 RITORNO
sottraendo la 1a) alla 2a), così da eliminare l’incognita B, si ottiene, dopo le opportune semplificazioni,
A = 252 + C
quindi, possiamo riscrivere
T = A + B + C
come
T = 252 + C + B + C = 252 + B + 2C
sostituendo, nella 1a), si ottiene (252 + C)/72 + B/63 + C/56 = 4
che, semplificando, ci dà:
B + 2C = 31,5
a questo punto otteniamo:
T = 252 + 31,5 = 283,5
Non sappiamo quanto siano lunghi i tre tratti (A è lungo almeno 252 km) ed, inoltre, non siamo nemmeno certi che B e C siano presenti contemporaneamente ( in B + 2C = 31,5 B o C potrebbero valere Zero) ma ci era richiesto di calcolare solo la loro somma…
* ERRATA CORRIGE: errore di battitura
l’equazione 2A) non è
2a) A/56 + B/63 + C/56 = 5 RITORNO
bensì
2a) A/56 + B/63 + C/72 = 5 RITORNO
Scusate il refuso