Questo problema faceva parte dell'esame di ammissione a una Università indiana ed è considerato piuttosto difficile dato che dovrebbe essere risolto in circa tre minuti! Avendo più tempo a disposizione, la soluzione diventa molto più semplice, avendo ben chiari i concetti di velocità angolare, di momento d'inerzia e di momento angolare. Vediamo di svolgerlo passo dopo passo.

La Fig. 1 illustra il problema.

Vi è una specie di "carrello" con due dischi sottili diseguali che rotola senza strisciare su un piano orizzontale perfettamente liscio. I due dischi sono fissati saldamente tra loro da una barra rigida di massa trascurabile che unisce i due centri A e B. La rotazione attorno all'asse OB, che avviene con velocità angolare ω, induce, ovviamente, anche una rotazione dell'intero carrello attorno a un certo asse passante per O. Diamo un po' di parametri conosciuti e poi indichiamo ciò che vogliamo determinare:

La distanza tra le ruote piccole (ossia la barra) sia d, così come d sia anche la lunghezza del segmento che unisce la ruota più piccola al punto O. d valga a√24, dove a sia il raggio della disco più piccolo. Il disco più grande abbia raggio 2a. La massa del primo disco sia m e quella del secondo sia 4m. Chiamiamo L il momento angolare totale del carello rispetto al punto O.

Ricapitoliamo i dati in nostro possesso:

disco piccolo: raggio =a , massa = m

disco grande: raggio = 2a, massa = 4m

d = a√24

velocità angolare del carrello rispetto all'asse OB = ω

z = asse, passante per O, perpendicolare al piano di rotolamento .

Si chiede di calcolare:

(a) La componente  rispetto a z della velocità angolare del centro di massa del carrello.

(b) Il momento angolare del carrello attorno al suo centro di massa G.

(c) Il momento angolare del centro di massa del carrello attorno al punto O.

(d) La componente secondo z del momento angolare totale L.

 

Prima di iniziare a dare le risposte ricordiamo alcuni concetti fondamentali e le formule ad essi relative.

Un punto P che ruota attorno ad un punto O ad una distanza R con una velocità angolare ω possiede una velocità tangenziale:

v = ωR           …. (1)

La velocità del centro di massa di un disco di raggio R che rotola senza strisciare con velocità angolare ω è data da:

v_CM = ωR       …. (2)

Il momento d’inerzia di un punto di massa M che ruota, con asse di rotazione perpendicolare al piano, attorno ad un punto O, posto ad una distanza s è dato da:

I = Ms²              …. (3)

Il momento d’inerzia di un disco sottile di raggio R e massa M, che ruota attorno al suo centro di massa con asse perpendicolare al piano di rotazione è dato da:

I = mR²/2            …. (4)

Il momento angolare di un corpo di massa M, che ruota attorno a un punto O, con velocità angolare ω, è dato da:

L = I ω                …. (5)

A questo punto ragioniamo un momento sulle varie domande: si parla di componenti secondo certi assi e di centro di massa. Non è mai troppo presto, perciò, per calcolare il seno e il coseno dell’angolo tra la barra del carrello e il piano di rotolamento, così come il centro di massa del carrello, ossia il punto in cui si può concentrare tutta la massa.

Seno e coseno di ϑ

Consideriamo il triangolo OAH. Ricordando che d = √24/a, possiamo scrivere:

cos ϑ =  OA/OH = d/√(d² + a²) = √24 a /√(24a² + a²) = √24a/(a √25) = √24/5

sin ϑ = HA/OA = a²/ √(24a² + a²) = 1/5

cos ϑ = √24/5              …. (6)

sin ϑ = 1/5                   …. (7)

Centro di massa del carrello

Calcoliamo il centro di massa G del carrello utilizzando la ben nota formula:

x_G = M₁ x₁ + M₂ x₂/(M₁ + M₂)

dove x indica la distanza rispetto a un punto qualsiasi O

Nel nostro caso le distanze dal punto O sono date da d e da 2d, mentre le masse sono m e 4m. Otteniamo:

x_G = (md + 8md)/5m = d 9/5

x_G = d 9/5                 .... (8)

Possiamo, finalmente, affrontare la prima domanda del quiz

 

(a) Velocità angolare del centro di massa del carrello attorno all’asse z.

Il carrello è un corpo rigido, per cui ogni suo punto ruota attorno a un asse con la stessa velocità angolare. Possiamo, perciò considerare il punto A. Il disco di centro A rotola senza strisciare con velocità angolare ω, per cui la velocità tangenziale vA è data da (vedi (1)):

v_A = ω a

La velocità angolare di A attorno ad O ( velocità tangenziale divisa per la distanza è data da (vedi ancora (1)):

Ω = ωa/d

Tuttavia, questa velocità angolare è quella della rotazione attorno all’asse che forma un angolo ϑ con l’asse z. Per avere la componente secondo z, basta scrivere, ricordando la (6)):

Ω_z = Ω cos ϑ =(ωa/d) cosϑ = (ωa/(√24 a)) (√24/5)= ω/5

Ω_z = ω/5

(b) Momento angolare del carrello rispetto al centro di massa

Iniziamo col calcolare i momenti d’inerzia dei due dischi rispetto alla posizione del centro di massa G.

I1 = ma²/2

I2 = 16ma²/2

Il momento angolare è dato dalla somma dei due momenti d’inerzia moltiplicata per la velocità angolare ω

L_ω = (I1 + I2) = 17 ma² ω /2

(c) Momento angolare del centro di massa del carrello rispetto ad O

Conosciamo la posizione del centro di massa del carrello, per cui possiamo applicare tutta la massa in quel punto e calcolare il momento angolare attorno ad O mediante la (5). Il momento d’inerzia è, invece, dato dalla (3):

I = s² M =  ((9d/5 )²) 5m = 81md²/5

La velocità angolare rispetto ad O

Ω = ωa/d

Il momento angolare è, quindi:

L _Ω = (81m d²/5)(ωa/d) = 81 m √24 ωa²/5

L _Ω = 81 m √24 ωa²/5

(d) Componente secondo z del momento angolare totale L

Abbiamo calcolato i due momenti angolari che presenta il nostro carrello. La regola della mano destra ci dice, ovviamente, che uno è diretto nel verso di ω (L_ω)e l’altro nel verso di Ω (L _Ω). Li conosciamo entrambi per cui basta sommare (con segno) le loro componenti secondo l’asse z:

L_z = ωa² 81m √24/5 cosϑ -17 ma² ω/2 sinϑ

L_z = (ωa² 81m √24/5)(√24/5) – (17 ma² ω/2)(1/5)

L_z = ωa² m (81 ∙ 24/25 – 17/10)

L_z ≈ 76ωa² m