Il presente articolo è stato inserito nella sezione d'archivio Pianeta Terra

 

Conoscere la reale forma della Terra pone sfide non trascurabili. Ciò vale anche per i pianeti rocciosi, i pianeti nani e gli asteroidi, non si tratta di semplici questioni "formali" ma di importanti aspetti che possono fornire utili chiavi d'accesso alla conoscenza delle loro strutture interne.

La forma sferica, pur essendo la prima cui riferirsi quando si tratti di un generico pianeta o pianeta minore, costituisce in realtà una notevole e sbrigativa approssimazione.

Non si tratta di un'approssimazione priva di rilevanti ricadute: la reale forma di un pianeta è il risultato di complesse interazioni tra molti fattori, ciò significa che avere una rappresentazione geometrica precisa del pianeta permette, in linea teorica, di porre importanti limiti al modello fisico con cui descrivere il pianeta medesimo.

Nel caso dei pianeti "rocciosi" lo studio della forma permette, con l'ausilio di ulteriori informazioni di altra natura, di ottimizzare il modello di riferimento dell'interno. Tuttavia non si tratta di un percorso agevole, a partire proprio dal dato iniziale, cioè dalla descrizione della reale forma, che deve essere espressa in qualche modalità numerica per poter essere utilizzata nel modello.

Anche quando si tratti della Terra, il pianeta su cui si può vantare la migliore conoscenza in assoluto, le difficoltà si presentano immediatamente.

NON UNA SFERA

Il globo terrestre è certamente rappresentabile con il concetto geometrico di sfera e così è stato a lungo, ma la questione ha sollevato nel tempo non poco interesse e dibattito. Nel Philosophiae naturalis principia matematica (1687) Isaac Newton avanzò l’ipotesi che la forma del pianeta non fosse sferica ma piuttosto affetta da uno schiacciamento polare, che quantificò su base teorica; il coevo Christiaan Huygens contestò il calcolo di Newton proponendo nel 1690 una nuova stima, sempre su base teorica, pari a meno della metà del valore newtoniano. Al contrario Domenico Cassini, basandosi su misurazioni effettuate nel periodo 1701-1718 nel nord e sud della Francia, ritenne che lo schiacciamento fosse equatoriale, cioè che la Terra fosse uno sferoide prolato.

Tra il 1735 ed il 1738 venne finalmente posto fine alla disputa: misurazioni strumentali molto precise effettuate in Lapponia ed in Perù rivelarono che la lunghezza di un arco di meridiano ampio un grado a latitudine circumpolare confrontata con quella a latitudine equatoriale assegna a quest’ultima il valore minore, evidenziando senza alcun dubbio lo schiacciamento polare, peraltro fornendo un valore numerico sperimentale di appena il 12% circa differente dal calcolo (puramente teorico) del grande Isaac.

Superato il primo ostacolo ci si concentrò sulla precisione delle misure. Nel 1840 Friedrich Wilhelm Bessel utilizzò le migliori misure per fissare l’entità dei raggi equatoriale e polare, successivamente ritoccata marginalmente. Oggi la differenza tra raggio equatoriale e raggio polare è assunta pari a 21,5 km, una quantità piuttosto esigua se comparata alle dimensioni del pianeta.

In termini geometrici la differenza induce a considerare la forma della Terra quale un ellissoide di rotazione, caratterizzato da un raggio maggiore, corrispondente al raggio equatoriale terrestre e da un raggio minore, corrispondente al raggio polare terrestre (fig. 1).

NON UN ELLISSOIDE DI ROTAZIONE

L'ellissoide di rotazione è una figura geometrica regolare e pertanto è descrivibile con una ben precisa formulazione matematica e questo lo rende molto utile per tutte le applicazioni cartografiche ma anch'esso rappresenta un'approssimazione, certamente molto buona, della reale forma della Terra.

Misurazioni molto accurate hanno infatti evidenziato che l'equatore non è perfettamente circolare ma presenta anch'esso uno schiacciamento, seppure di molto inferiore allo schiacciamento polare. Questa caratteristica ha 2 conseguenze importanti:

• i paralleli terrestri non sono circonferenze e andrebbero raffigurati come ellissi, ciascuno con un semiasse maggiore ed uno minore;
• la figura solida cui riferirsi non può essere ottenuta per rotazione di una figura piana attorno ad un asse, e quindi anche il modello ad “ellissoide di rotazione” va abbandonato in favore di un modello a “ellissoide”, solido che ha 3 semiassi: un semiasse polare, un semiasse equatoriale minore ed un semiasse equatoriale maggiore (fig. 2).

Il problema dell’esprimere matematicamente la forma terrestre si complica, ma tutto sommato neppur di molto, si tratta di gestire qualche calcolo in più e nemmeno di gran arditezza. A prima vista un ellissoide a 3 assi sembra un solido piuttosto impegnativo da esplicitare in linguaggio matematico-geometrico (“analitico” direbbero gli esperti matematici), ma le difficoltà sono relative.

Ogni punto della superficie dell’ellissoide a 3 assi è individuato dalle 3 coordinate spaziali x, y e z. In un sistema cartesiano XYZ con l’origine nel punto d’intersezione dei 3 assi dell’ellisse, i punti della superficie sono legati tra loro dall’espressione analitica

            

ove a, b, c sono le lunghezze dei semiassi. L’equazione evidenzia che l’ellissoide di rotazione e la sfera altro non sono che casi particolari di ellissoide a 3 assi, rispettivamente nel caso in cui a=b e a=b=c.

L’ellissoide a 3 assi è una forma di riferimento nello studio dei pianetini e degli asteroidi (QUI), (QUI) e (QUI), in generale caratterizzati da forme che tendono in varia misura a discostarsi dalla sfericità (fig. 3) per essere meglio approssimati da un ellissoide, rispetto al quale è possibile stimare l’entità delle irregolarità superficiali, indicate con il termine di “residui”.

Un elevato valore del residuo indica la presenza di importanti irregolarità superficiali, quali bacini, duomi, creste. Le figure 4 e 5 mostrano l’ellissoide di miglior approssimazione calcolato per l’asteroide Psyche (QUI) sulla base delle osservazioni disponibili.

 

In generale il rapporto tra entità dei residui e ellissoide di miglior approssimazione aumenta con la diminuzione delle dimensioni del corpo celeste, come mostra la figura 6.

NON UN ELLISSOIDE

Asfericità e peso dei residui rispetto all’ellissoide di miglior approssimazione non sono parametri di rilievo nel caso dei pianeti rocciosi Marte, Venere e Terra, ma per quest’ultima i geologi (o meglio i geodeti) hanno voluto davvero sviscerare il problema della forma.

Affettando un ellissoide con piani paralleli al piano equatoriale le figure piane ottenute sono ellissi regolari, ciascuna con il proprio semiasse maggiore e minore; esattamente lo stesso accade affettando l’ellissoide con piani passanti per l’asse polare.

A causa dei residui i paralleli terrestri NON sono ellissi regolari ma ellissi DEFORMATE e ciascuna si presenta deformata in modo diverso dalle altre; ma non basta, anche i meridiani subiscono la stessa sorte.

Del resto la superficie terrestre, che appare liscia come una palla da biliardo vista dallo spazio, non lo è nella realtà. La presenza di vasti settori di superficie corrugata (catene montuose articolate in cordigliere, altipiani e contrafforti) e di ancor più estesi bacini (ospitanti oceani e mari) evidenzia non trascurabili deviazioni dalla perfetta superficie dell’ellissoide.

Il problema della descrizione precisa della forma terrestre si complica in modo drastico, anzi esiziale, poiché diventa impossibile affidare alla sola matematica il compito di mettere a punto un preciso modello geometrico di riferimento che renda giustizia a tanta irregolarità.

Ma l’uomo necessita di una base solida cui riferirsi nella composita pletora di attività che mette in campo giornalmente e in ogni parte del globo, per la maggior parte di esse è necessario avere un’identificazione spaziale precisa, cioè occorre individuare una superficie di riferimento che svolga la funzione di “superficie zero” rispetto alla quale computare le coordinate di un qualsiasi punto (l’altezza di una montagna, la quota del piano di campagna che ospiterà una costruzione etc.).

Occorre pertanto superare il limite imposto dai concetti puramente geometrici e per poter fare un altro passo verso la “descrizione perfetta” è necessario invocare la fisica.

La Terra altro non è che un agglomerato di materia in rotazione su se stesso da qualche miliardo d’anni e la materia costituente presenta valori di densità variabili spazialmente ed in modo non regolare. E' pur vero che approfondendosi verso il centro terrestre la densità dei materiali tende ad aumentare, ma si tratta di una tendenza generale su cui si sovrappongono le numerose eterogeneità presenti all'interno del pianeta che solo molto approssimativamente può essere riferito ad un modello a strati.

La stessa crosta presenta eterogeneità eclatanti, evidenti, per esempio, nelle significative differenze tra le densità delle rocce appartenenti ai fondali oceanici ed alle porzioni emerse. Anche gli spessori crostali sono molto variabili, da decine e decine di chilometri in corrispondenza delle masse continentali fino a quasi un centinaio di chilometri dove vi sono le catene montuose per ridursi ad appena qualche chilometro in corrispondenza dei bacini degli oceani.

La distribuzione della massa planetaria determina la variazione della sollecitazione gravitazionale cui sono sottoposti i volumi, senza contare che le vicissitudini subite dalla superficie nel tempo hanno un ulteriore effetto sulla forma, come testimonia il sensibile moto di sollevamento che alcuni settori di superficie ancora oggi mostrano e dovuto alla scomparsa delle immense masse ghiacciate formatesi nell'ultima glaciazione.

Da un certo punto di vista la forma della Terra è un concetto ingannevole se lo si vuol vincolare a qualcosa di ben definito: non solo sfugge a descrizioni meramente analitiche ma muta anche nel tempo e neppure troppo lentamente.

IL GEOIDE

Considerato che una distribuzione di materia a simmetria perfettamente sferica determina un uguale valore della gravità su tutti i punti della superficie, se la distribuzione è asimmetrica anche l’intensità dei vettori che rappresentano la gravità in superficie sarà in generale differente da punto a punto.

Ciò è vero anche per la direzione dei vettori: in condizioni di simmetria sferica la loro direzione è perpendicolare al piano tangente alla superficie in ogni punto, ma se la densità è variamente distribuita, quindi con variazioni anche laterali, i vettori deviano dalla perpendicolare al piano tangente nel punto considerato.

Da un punto di vista pratico il filo a piombo permette di visualizzare la direzione del vettore rappresentativo della gravità in ogni punto della superficie terrestre (al netto degli effetti indotti dalla rotazione), e quindi individua anche l’orientazione nello spazio del piano perpendicolare al filo. In particolare la direzione individuata dal filo a piombo risente dei contributi gravitazionali agenti sul piombino: la presenza di un locale eccesso di massa (una montagna, per esemplificare) farà deviare il filo dall’ideale verticale (diretta verso il “centro della Terra”) in misura maggiore rispetto ad un punto in aperta pianura (fig. 7).

Se la superficie terrestre fosse completamente ricoperta da un oceano l’acqua, potendo scorrere liberamente, tenderebbe a disporsi in modo da essere in perfetta quiete (stato di equilibrio idrostatico), cioè la superficie dell’oceano “globale” assumerebbe la forma dettata dalla gravità punto per punto, obbedendo così a tutte le variazioni locali dettate dalle eterogeneità nella distribuzione della massa.

In linguaggio più preciso la superficie dell’ideale oceano “globale” identifica una “superficie equipotenziale del campo gravitazionale terrestre”. Tale superficie è visualizzabile con la superficie libera degli oceani idealmente prolungata anche laddove esistono le terre emerse.

Al solido irregolare definito da questa superficie, che rappresenta un “unicum” nel senso che è proprio quello relativo alla forma terrestre, è stato dato (non a caso, evidentemente) il nome di GEOIDE. Va sottolineato che il geoide NON è il solido corrispondente alla forma della Terra ma solo quello che la approssima meglio del miglior ellissoide possibile, perché tiene conto anche delle rugosità e delle depressioni che movimentano la superficie terrestre (fig. 8).

Per poter essere utilizzata quale riferimento la superficie individuata dal geoide deve essere espressa in forma numerica, operazione impossibile a meno di accettare anche in questo caso il compromesso dell’approssimazione, utilizzando laboriosi metodi matematici che permettono di calcolare la forma di una superficie molto vicina a quella del geoide vero e proprio, ottenendo così un modello globale di geoide.

Esistono vari modelli globali di geoide e l’argomento è costantemente oggetto di studio nell’intendimento di mettere a punto modelli di riferimento sempre più raffinati; un esempio è il modello chiamato EGM2008 (Earth Geopotential Model 2008), di cui la figura 9 mostra la proiezione su una superficie piana e la successiva figura 10 offre una vista in 3D.

La dicitura “s. l. m. m.” che spesso nei testi segue un valore di elevazione della superficie terrestre sta ad indicare “sul livello medio marino” ed individua la superficie del geoide di riferimento rispetto alla quale è stata calcolata la quota del punto d’interesse.

La superficie della Terra però è in continuo divenire. A parte le variazioni conseguenti all’azione incessante degli agenti erosivi (corsi d’acqua, ghiacciai etc.) vi sono modifiche dovute alla geodinamica crostale che stira, spinge, rigonfia o deprime la superficie anche su vasta scala (le glaciazioni, le orogenesi, l’apertura di bacini etc.).

L’entità di tali variazioni in rapporto alla scala temporale umana è in generale contenuta, ma in certi casi meno di quanto ci si potrebbe aspettare: l’Everest, al netto della copertura nevosa sommitale, si innalza di qualche millimetro all’anno per effetto delle spinte dovute alla collisione tra la placca tettonica indiana e quella eurasiatica. La catena alpina si sta innalzando di 2-2.5 mm all’anno nel settore nord-occidentale e di 1 mm all’anno circa nel settore orientale; il fenomeno ancora non ha una spiegazione del tutto convincente e sembra dovuto a più fattori concorrenti (scioglimento post glaciale, innalzamento post orogenesi, alleggerimento per erosione, moti di convezione subcrostale (fig. 11).

Sulla scorta di questa perenne agitazione della superficie anche il geoide conserva valore per un tempo limitato e di conseguenza anche il modello che lo approssima va periodicamente (e localmente) adeguato, comportando un impegnativo e continuo lavoro di misurazione e calcolo.

 

1 - https://www.researchgate.net/publication/336866660_A_basin-free_spherical_shape_as_an_outcome_of_a_giant_impact_on_asteroid_Hygiea

2 - https://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2020/06/aa38100-20/aa38100-20.html

3 - https://www-udc.ig.utexas.edu/external/becker/preprints/s19.pdf