Categorie: Fisica classica
Tags: dinamica pendolo balistico proiettile trave urto anelastico
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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Spariamo contro una trave sottile **
Un esercizio piuttosto semplice dedicato a un pendolo balistico. Utilizziamo sia i momenti d'inerzia che quelli angolari. La soluzione viene data passo dopo passo, in modo estremamente elementare. Ovviamente, si ritengono noti i significati di questi momenti...
Un proiettile di massa m che viaggia orizzontalmente con velocità v0 colpisce l'estremità inferiore di una trave sottile di massa M e lunghezza d, e si schiaccia contro di essa. La trave è libera di ruotare attorno ad un asse perpendicolare al piano individuato dal moto del proiettile e dalla trave, passante per l'estremità superiore O della trave. Calcolare la velocità angolare ω della trave. La Fig. 1 illustra la situazione:
Chi vuole cimentarsi a far da solo può fermarsi qui.
Capiamo bene il problema e vediamo di cosa abbiamo bisogno.
Essendo l'urto anelastico potremmo pensare che tutta la velocità del proiettile si trasferisca alla trave e, quindi, che basterebbe ricordare che la velocità angolare dell'insieme trave-proiettile non è altro che:
ω = v0/d
Ma si commetterebbe un errore, dato che dopo l'urto la massa in gioco non è più soltanto m del proiettile, ma la somma delle masse m del proiettile e della trave M. In altre parole la resistenza al moto finale del sistema trave-proiettile deve tener conto anche del momento d'inerzia della trave, ossia della sua resistenza al moto circolare.
Ne consegue, perciò, che è necessario calcolare il momento d'inerzia della trave rispetto al punto O.
Possiamo perciò considerare come sistema l'insieme proiettile-trave: il momento angolare prima dell'urto DEVE essere uguale al momento angolare dopo l'urto.
Il momento angolare prima dell'urto è dato soltanto dal momento angolare del proiettile, mentre quello dopo l'urto, deve tener conto sia del momento d'inerzia del proiettile schiacciato sia del momento d'inerzia della trave. Ma andiamo con calma e iniziamo con il calcolo del momento d'inerzia della trave rispetto al punto O.
Momento d'inerzia della trave attorno ad O.
La Fig. 2 illustra, da sinistra a destra, i passaggi che dobbiamo fare.
Innanzitutto ricordarci la formula del momento d'inerzia dIt di un volumetto dV di massa dM distante r dal punto O
dIt = dMdV r2 = dVdr ρ r2
Nel nostro caso la trave è solo una linea senza spessore, per cui al posto del volumetto possiamo considerare un trattino dr, dotato di massa dM. Abbiamo perciò:
dIt = dr ρ r2
dove la densità ρ è quella lineare.
A questo punto non ci resta che sommare tanti trattini dr in modo da ottenere la trave completa di lunghezza d. In altre parole basta sommare i loro momenti d'inerzia con r che va da 0 a d per avere il momento d'inerzia It dell'intera trave.
It = ∫d0ρ r2dr = ρ[r3/3]d0
It = ρd3/3
o, se vogliamo far comparire la massa M della trave:
It = (M/d) d3/3
It = Md2/3 .... (1)
Momento angolare prima dell'urto
Per quanto già detto, esso è il momento angolare Lp del solo proiettile ed è dato dal prodotto vettoriale tra il la quantità di moto p del proiettile e il vettore d, ossia la distanza tra il proiettile e il punto O nel momento dell'impatto.
Lp = mv0∧d
Il suo modulo non è altro che:
Lp = mv0 d sin θ
dove θ è l'angolo tra la direzione del proiettile e la congiungente O con il proiettile. Nel nostro caso l'angolo è uguale a 90°, per cui possiamo scrivere:
Lp = m d v0 .... (2)
Momento angolare dopo l'urto
Passiamo al calcolo del momento angolare Ld, dopo l'urto, ricordando che il momento angolare è dato dalla relazione:
L = I ω .... (3)
dove ω è la velocità angolare del sistema trave-proiettile, proprio la nostra incognita. Il momento d'inerzia del sistema trave - proiettile è la somma dei due momenti, ossia:
I = Id = It + Ip
Il momento d'inerzia del proiettile è dato da
Ip = m d2 .... (4)
e quello della trave dalla (1)
La (3) diventa:
Ld = (md2 + Md2/3)ω .... (5)
Conservazione del momento angolare
Non ci resta, adesso, che uguagliare i due momenti angolari, prima e dopo l'urto:
Lp = Ld
Uguagliamo, perciò, la (2) con la (5), ottenendo:
mv0d = (md2 + Md2/3)ω
ω = mv0/(d(M/3 + m))
ω = 3 mv0/(d(M + 3m))
2 commenti
Questo è anche il caso, se non sbaglio, in cui nella famosa giostra calcinculo, dopo qualche ondulazione, si riusciva ad andare ad aggrapparsi al seggiolino dell'amico seduto davanti per proseguire insieme la curva verso l'alto. Urto anelastico.
Elastico invece quando si urtava con i piedi il seggiolino davanti e per reazione si tornava indietro. Ci siamo?
Ovviamente se si imprime una velocità diversa al seggiolino cambia la forza centripeta.
ERRATA CORRIGE: Non mi sono accorto che siamo nel nuovo esercizio.. .Quanto detto si riferisce al caso della giostra precedente... ma puoi combinare le due cose.