Categorie: Matematica
Tags: angolo geometria quiz tre quadrati
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:6
(Q) Tre quadrati **
Consideriamo tre quadrati uguali affiancati tra loro (ABGH, BCFG e CDEF). Tracciamo da A la congiungente ad E, da H la congiungente a C e da G la congiungente all’intersezione P dei primi due segmenti.
Quanto misura l’angolo GPE?
Non fatevi ingannare dalla apparenze e fornitemi una dimostrazione completa.
6 commenti
Credo che non piaccia, ma con un pizzico di geometria analitica si trova che l'angolo è retto... se non ho fatto errori
Aggiungo nella figura la linea orizzontale PQ e verticale PR .
AQ = 1/3 QP e QH = 1/2 QP
Il lato AH = AQ+QH vale 5/6 QP Quindi anche il lato HG = 5/6 QP
Inoltre HR = QP e QH = PR
Ricavo ora GR = HR - HG = QP - 5/6 QP = 1/6 QP
Il triangolo rettangolo GRP ha il cateto GR = 1/6 QP e l'altro cateto PR = 1/2 QP
I due cateti stanno tra loro nel rapporto 1:3 e questo rapporto lo troviamo identico tra i cateti del triangolo RPE
Quindi GR: RP = RP: RE
Abbiamo allora le uguaglianze tra angoli: GPR= PER e RGP = RPE
Dato che la somma degli angoli RPE+PER = 180° - 90° = 90° e che GPR=PER ne deriva che
RPE + GPR = GPE = 90°
In riferimento alla figura precedente, si può abbreviare una volta arrivati al punto in cui si determinano
IE = 9/5 e IG = 1/5, applicando l'inverso del secondo teorema di Euclide al triangolo GPE:
se in un triangolo il prodotto delle proiezioni di due lati sul terzo è uguale al quadrato dell'altezza su quest'ultimo, allora il triangolo è rettangolo:
molto bene Andy e Mau, ovviamente... In ogni modo, Fra 56 parla di geometria analitica e penso di descrivere un metodo che la applichi in modo semplice (praticamente quello di Andy).
Sesi ruota il rettangolo ACFH intorno a C di 90° in senso antiorario, siano A’ ed H’ i corrispondenti di A ed H rispettivamente.
Il traingolo HCH’ è rettangolo isoscele. Quindi ∠CHH’=45°.
Essendo AE// HH’ anche ∠CPE=45°. Essendo ∠AGH=45° il quadrilatero APGH è ciclico (cioè i 4 punti stanno sulla stessa circonferenza.
Da questo segue facilmente che APG=90° ed anche BPH=90°.
ps. come si fa ad allegare immagini?