(Q) Il problema delle due scodelle (con soluzione).
Non metto asterischi, dato che la difficoltà sta nel modo con cui si affronta il quiz.
Abbiamo a disposizione due scodelle semicircolari di raggio r e R qualsiasi. Poniamo la prima, capovolta, su un tavolo e chiamiamo T il punto più a sinistra della scodella. Prendiamo la seconda e accostiamola alla prima, senza capovolgerla, come mostra la figura che segue:
Chiamiamo P il punto più a destra della seconda scodella.
Si chiede:
Quanto misura il diametro della circonferenza tangente in T alla scodella gialla e passante per P, in funzione di r e R?
Siamo sicuri che ne esista solo una?
I metodi per risolvere il problema sono sicuramente molti... vediamo chi trova il più rapido.
SOLUZIONE
Sono proprio contento dei vostri commenti e della presenza di un nuovo solutore! Ovviamente, la migliore soluzione è la vostra. Ma ecco quella che ho trovato in rete, una soluzione che complica veramente il problemino.
La faccio breve...
Consideriamo il diametro TQ
Spezziamolo in quattro "pezzi":
TQ = TC1 + C1C2 + C2N + NQ
TQ = r + √((r + R)2 - R2) + R + NQ
Ma si può anche scrivere...
TN NQ = PN PN = R2
NQ = R2/TN = R2/( r + √((r + R)2 - R2) + R)
E quindi...
TQ = r + √((r + R)2 - R2) + R + R2/( r + √((r + R)2 - R2) + R)
Il risultato è giusto, ma...
Comunque sia, la geometria stimola tanta, tanta fantasia. Si può sempre provare a renderla più compatta.
6 commenti
Uno scioglilingua:
c'è un raggio che è uguale ad un raggio più un altro raggio, ma ci sono anche due raggi uguali ad un raggio meno l'altro raggio...
La congiungente TP passa per il punto di tangenza tra le due scodelle.
I triangoli TCA, ADP e TOP sono isosceli e tra loro simili. Quindi gli angoli TCA, COP e ADP sono tra loro congruenti. Inoltre, l'angolo ACO = 180-(180-2α)=2α è congruente all'angolo DPO. Quindi CDPO è un parallelogramma. Dunque il lato CD = r+R è congruente al lato OP = Rt. In definitiva: Rt = r+R.
Sia S12 il punto di tangenza delle scodelle s1 ed s2. I centri di queste C1 e C2 sono in corrispondenza inversa rispetto ad S12 con il rapporto dei due raggi. Più in generale sono nello stesso rapporto i due triangoli TS12C1 e PS12C2.
La circonferenza cercata, passando per P e T, ha il centro nell’asse di PT ed essendo tangente alla scodella s1 in T ha il centro sul piano di appoggio (cioè il diametro di s1). Pertanto la circonferenza cercata è una sola.
Sia C3 il l’intersezione tra l’asse di PT e il diametro di s1.
Siccome s1 ed s3 stanno in corrispondenza diretta rispetto a T (il punto comune di tangenza). Quindi TC1S12 e simile TC3P.
Per le similitudini dette, essendo TP la somma di TS12 ed S12P, TC3=C1S12+S12C2.
Non so come fare a caricare una immagine, ma provo a descriverla.
Sia O il punto di tangenza delle due scodelle e T1 e P1 gli altri estremi dei diametri per T e P.
Sia P2 il secondo estremo del diametro per T della circonferenza cercata.
TOT1 ~ TPP2
OTT1 ~ OPP1
P2T/T1T = PT/OT = (PO+OT)/OT = PO/OT+1 = r/R+1
P2T = 2R(r/R+1) = 2(R+R)
Se S12 è il punto comune alle scodelle ed U e V i secondi estremi dei diametri per T e P rispettivamente, la perpendicolare per S12 passa da U e V. Se la perpendicolare per P a TP interseca il piano di appoggio in Q, si ha che UVPQ è un parallelogramma. Quindi UQ=2R e TQ che è il diametro della circonferenza cercata è dato dalla somma di TU+UQ=2r+2R.