Categorie: Matematica
Tags: angoli circonferenze geometria quiz tangenti
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
Due circonferenze tangenti (con soluzione)**
Ho ideato questo esercizio, piuttosto facile, che mi sembra abbastanza interessante. Spero diverta anche voi...
Potrei pubblicare esercizi decisamente più difficili, ma spero sempre che anche i meno esperti riescano a farsi sentire.
Consideriamo due circonferenze di raggio qualsiasi tangenti tra loro nel punto T. Da un punto P qualsiasi, esterno alle circonferenze, tracciamo le tangenti alla circonferenze che le tocchino in T1 e T2.
Determinare l'angolo x = T1TT2 in funzione dell'angolo a = T1PT2
SOLUZIONE
Arturo e Andy hanno già inviato le loro soluzioni. Io ne aggiu7ngo una simile a quella di Arturo, leggermente più elaborata in modo da spiegare con particolare attenzione i pochi passaggi necessari.
La soluzione diventa ovvia per i casi particolari, molto meno nel caso più generale... Sembrerebbe quasi un ... teorema.
Introduciamo la Fig. 1
Tracciamo la congiungente O1 con O2, centri delle circonferenze. Poi prolunghiamo T2O2 fino a incontrare T1O1 in Q.
Ovviamente, per costruzione:
PT2O2 = PT1O1 = 90
La loro somma è 180°, così come la somma di a e di T1QT2
In poche parole:
T1QT2 = 180 - a
Nelle due circonferenze abbiamo che:
T1O1 = O1T
e
T2O2 = O2T
in quanto raggi. Ne segue, perciò che:
TT2O2 = T2TO2 = b
e
TT1O1= T1TO1 = c
Dato che i due triangoli sono isosceli.
Consideriamo il triangolo O1O2Q
L'angolo In O1 è il doppio di C (angolo esterno) così come l'angolo in O2 è doppio di b.
Possiamo perciò scrivere che:
180 = (180 - a) + 2b + 2c
2b + 2c = a
b + c = a/2
Considerando l'angolo piatto O1TO2, otteniamo:
180 - b - c = x
x = 180 - (b + c)
x = 180 - a/2
Un semplice esercizio, ma con un risultato forse inaspettato...
7 commenti
L'angolo piatto meno la metà del dirimpettaio...
un risultato un po' inaspettato... non trovi'
E ci sono anche altre caratteristiche inaspettate:
Praticamente, una volta individuata la similitudine tra due coppie di triangoli rettangoli, tracciata la bisettrice dell'angolo in P, costruito il triangolino rettangolo verde all'interno del triangolo isoscele di vertice P, ruotato e ribaltato lo stesso triangolino verde e posizionato (rispettando la disposizione dei suoi angoli acuti) sul vertice T e da qui iniziando a studiare il processo di "evoluzione" dell'angolo alfa in un percorso antiorario, il gioco è fatto.
Questa era la mia soluzione:
Alcuni casi particolari che hanno catturato la mia attenzione sono relativi al caso in cui le due circonferenze hanno raggio uguale. Il seguente caso particolare è quanto il punto P è allineato con i punti T1 e T2. In tal caso l'angolo x è pari a 180°-180°/2 = 90°:
Un altro caso particolare è quando il punto P si trova sulla retta passante per T e tangente alle due circonferenze (di raggio uguiale) a formare con i punti T1, T e T2 un parallelogramma con i lati cogruenti. In tal caso, x = 180°-120°/2 = 120° . Cioè in questo caso i due angoli sono tra loro congruenti:
Infine, quest'ultimo caso particolare è un caso ..limite, cioè quando P , giacente come prima sulla retta per T tangente alle due circonferenze di raggio uguale, se ne va a passeggio verso l'infinito.. Al limite, l'angolo T1PT2 sarà zero, per cui, in tal caso, al limite, x= 180° -0/2 = 180°:
Tanto per provare se il servizio di condivisione immagini funziona, ecco la mia proposta al caso
https://imgur.com/a/HsBjLeS
Sia EF' la retta simmetrica di EF rispetto all'asse CG.
Gli angoli in C e E sono uguali per le proprietà
degli angoli alla circonferanza rispetto allo stesso arco.
Poichè GC è la bisettrice dell'angolo in G, ∡E = ∡H.
Pertanto CD ed HE sono parallele. Essendo le
figure del cerchio piccolo e cerchio grande
inversamente corrispondenti con centro G,
anche FF' è parallela a CD.
La relazione tra l'angolo in G e l'angolo in D è
2∡G + ∡D = 360°