Vi è in geometria una formula non molto nota che consente di calcolare il raggio della circonferenza circoscritta ad un quadrilatero ciclico: la formula di Parameshvara,

che prende il nome dal matematico e astronomo indiano Vatasseri Parameshvara Nambudiri (Kerala, India c. 1380–1460).

La sua dimostrazione non è particolarmente difficoltosa in quanto si basa essenzialmente su due formule ed un teorema:

1: la formula per la determinazione del raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo di lati

l₁ , l₂ , l₃ ed area S: 

dalla quale, all’inverso, si può ricavare l’area noto il raggio: 

2: il teorema di Tolomeo per un quadrilatero ciclico di lati consecutivi a, b, c, d

e diagonali p e q: 

3: la formula di Brahmagupta per ottenere l’area (S) di un quadrilatero ciclico di lati consecutivi a, b, c, d:

dove s minuscola indica il semiperimetro: .

 

Figura 1

In riferimento alla figura 1, si considerino i triangoli ABC e ADC, che condividono un lato rappresentato dalla diagonale AC = p. In base alla formula numero 1, le aree dei due triangoli si possono scrivere come:

    ;   

Sommando le due aree si ottiene, ovviamente, l’area del quadrilatero ABCD:

               (4)

Si considerino successivamente i triangoli ABD e BDC, che condividono un lato rappresentato dalla diagonale BD = q. Analogamente al passaggio precedente, si può scrivere:

    ;   

e sommando le due aree:

              (5)

Moltiplicando la (4) per la (5) si otterrà l’area del quadrilatero ABCD elevata al quadrato:

            (6)

Ma per il Teorema di Tolomeo (formula numero 2) si ha che:

per cui la (6) si può scrivere:

e portando  al denominatore ed   al primo membro:

                                                     (7)

Infine, sostituendo nella (7) l’area elevata alla seconda di ABCD con la formula di Brahmagupta:

ordinando ed estraendo la radice quadrata:

                                                              (8)

che restituisce il valore di R ricercato.

 

Nota: se non si volesse usare il semiperimetro s del quadrilatero ABCD ma fare riferimento solamente ai suoi lati, la formula equivalente alla (8) diventa:

in quanto:    

= =

e così via per gli altri lati.

 

 

 

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APPENDICE

Dimostrazione della determinazione del raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo (formula numero 1):

Un triangolo qualunque di lati a, b, c è inscritto in una circonferenza. Si consideri il lato b la base del triangolo e si tracci dal vertice opposto l’altezza che chiamo h_b ;

a’ è la proiezione di a sulla base b, c’ è la proiezione di c sulla base b.

Si congiunga l’estremo sinistro del lato b con l’estremo inferiore del diametro d, ottenendo il segmento f.

Il triangolo rosso di lati a, f, d è rettangolo perché costruito in una semicirconferenza;

il triangolo blu di lati h_{b ,} c’, c è rettangolo per costruzione;

inoltre i due triangoli sono simili perché contengono due angoli α uguali in quanto insistono sullo stesso arco di circonferenza delimitato dalla corda a.

Si può allora scrivere:

2r / a = c / h_b    →    2r = a×c / h_b

ma dato che:

Area_abc = b×h_b / 2    →    h_b = 2·Area_abc / b

allora:

2r = a×c / (2Area_abc / b) = a×b×c / 2Area_abc    →     r = a×b×c / 4Area_abc