Categorie: Fisica classica
Tags: caduta libera resistenza aria tempo di discesa tempo di salita
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:6
un problemino di Feynman *
Conoscendo Feynman, possiamo aspettarci che i suoi "quiz" siano semplici, ma anche molto simpatici e, magari, controintuitivi. Almeno per i meno preparati...
La domanda che ci fa è la seguente:
Se tiriamo una pallina verticalmente verso l'alto con una certa velocità v, impiega più a tempo a salire alla massima altezza o a ricadere al punto di partenza?
Attenzione: dobbiamo tener conto della resistenza dell'aria...
Oltre alla risposta bisogna anche riportare la dimostrazione.
6 commenti
E' proprio la resistenza dell'aria a scombinare le cose..
Considero la fase iniziale di salita della palina lanciata verticalmente verso l'alto con velocità iniziale v. Assumo come sistema di riferimento (basta un solo asse) quello dell'asse y orientato verso l'alto e origine nel punto da cui la pallina vioene lanciata verso l'alto. Secondo il secondo principio della dinamica, tradotto in formule, ho:
dove m è la massa della pallina, k è una costante (data da 6π⋅η⋅r, essendo η il coefficiente di viscosità dell'aria e r il raggio della pallina), v(t) è la velocità della pallina lungo l'asse y all'istante di tempo t.
Infatti, in questo caso sia la forza peso sia la resistenza dell'aria si oppongono al moto verso l'alto della pallina, quindi hanno entrambe verso opposto a quello assunto positivo per l'asse y.
Posso modificare la suddetta equazione differenziale del primo ordine come (separazione variabili):
Integrando tra v (velocità iniziale) e v(t) (velocità all'istante t) , ottengo:
Ponendo t=0 in questa equazione ottengo v(0)=v , come deve essere, essendo la pallina lanciata con velocità iniziale v.
Alla fine della salita, la velocità si sarà ridotta a zero, per cui basta porre v(t)=0 nella suddetta equazione per ricavare l'istante di tempo in corrispondenza del quale la velocità di salita si annulla. Facendo i conti e se non ho sbagliato qualcosa strada facendo, ottengo
Ora passo alla fase di discesa. Assumo come sistema di riferimento l'asse delle y orientato stavolta verso il basso e con origine nel punto da cui la pallina inizia a ricadere. Sempre per il secondo principio della dinamica, ho:
Infatti, stavolta la forza peso favorisce la caduta della pallina , quindi è nel verso assunto positivo per l'asse y , mentre la resistenza dell'aria è di verso opposto, cioè verso l'alto, opponendosi al moto della pallina verso il basso.
Anche qui, separo le variabili ottenendo:
Integrando tra 0 (velocità iniziale di caduta) e v(t) (velocità della pallina all'istante t), ottengo:
Ponendo t=0 nella suddetta equazione, ottengo v(0)=0, come deve essere nell'istante di tempo in cui la pallina comincia a cadere.
A questo punto, però, per sapere quanto tempo impiega la pallina ad arrivare al suolo , così da poter poi confrontare tale tempo con quello di salita prima determinato, poichè non so con quale velocità arriverà al suolo (lo saprei se non ci fosse la resistenza dell'aria..) , sono costretto a integrare un'altra volta per avere l'equazione dell'ordinata y(t) in funzione del tempo. Avendo questa, imporrò y(t)=H e ricaverò td (tempo di discesa). Ma così le cose si complicano notevolmente. Infatti, l'equazione dell'ordinata in funzione del tempo risulta:
Ponendo y(t)=H ottengo la relazione
da cui si tratterebbe di ricavare l'estressione di td, da confrontare poi con quella di ts.. Sinceramente , però, ho esaurito il tempo a mia disposizione , quindi lascio a qualche altro lettore volenteroso la soluzione. La diversità di espressione dei due tempi comunque farebbe pensare che essi siano diversi, contrariamente al caso ideale di assenza di resistenza dell'aria. La sensazione è che il tempo di salita sia minore di quello di discesa, perchè , a parità di distanza percorsa (altezza H) la velocità con cui la pallina arriva al suolo è, a causa della resistenza dell'aria, sicuramente minore di quella con cui era stata lanciata in alto nella fase di salita.
Nel frattempo, mi è saltato in testa di provare ..virtualmente il lancio della pallina, mediante l'uso del software di simulazione di esperimenti di fisica nel piano "Algodoo". In questo programma è implementata anche la resistenza dell'aria, con componente lineare (proporzionale alla velocità) e componente quadratica (proporzionale al quadrato della velocità). Considerate le velocità in gioco, credo basti la componente lineare. Ho considerato una pallina (in realtà , poichè il programma è nel piano, si tratta di un disco) di massa 50 grammi lanciata verso l'alto con velocità iniziale di 15 m/s. Il programma consente anche di "monitorare" l'andamento dei vari parametri nel tempo. In questo caso ho impostato il diagramma dell'ordinata della pallina nel tempo. Cioè sull'asse delle ascisse è riportato il tempo, mentre sull'asse delle ordinate è riportata l'altezza raggiunta dalla pallina lanciata verticalmente verso l'alto. Ho ripetuto l'"esperimento" in assenza di resistenza dell'aria, cioè nel vuoto, caso (1) , e in presenza di resistenza dell'aria , caso (2). Riporto il digramma del caso (1):
Come si vede dal grafico a destra, la curva risultante è perfettamente simmetrica , cioè la pallina impiega tanto tempo per salire quanto ne impiega per ricadere. (la pallina nell'immagine in realtà è stata immortalata qualche attimo dopo il primo rimbalzo al suolo)
Ora riporto il diagramma del caso (2):
Si nota altrettanto agevolmente che ora la curva non è più simmetrica, ma ha una pendenza maggiore nel tratto in salita e minore nel tratto in discesa. Cioè, stavolta la pallina impiega meno tempo per salire che per ricadere. (anche in questo caso, la pallina nell'immagine in realtà è stata immortalata qualche attimo dopo il primo rimbalzo al suolo)
Staranno effettivamente così le cose ? Mi convincerei definitivamente se si trovasse anche una dimostrazione analitica (ts=td).
Aggiungo che, con riferimento al primo commento, quindi al ragionamento analitico, per la fase di salita , una volta determinata l'espressione di ts, integrando l'equazione della velocità rispetto al tempo, e sostituendo nel risultato dll'integrazione l'espressiondi td, ottengo l'espressione dell'altezza H raggiunta dalla pallina, che è :
E' , dunque, nota anche l'altezza H raggiunta dalla pallina. H, pertanto, nell'ultima equazione del primo commento, è da intendersi come quantità nota. Si tratterebbe di esplicitare quell'ultima equazione rispetto a t, che in quel caso rappreseneterebbe td, cioè il tempo che la pallina impiega per cadere al suolo. Ma estrarre t da quella equazione non è affatto semplice..
Allora mi sono accontentato di verificare a posteriori, con l'"esperimento" con Algodoo del secondo commento . Cioè, sostituendo i valori imposti e noti (k=0,05N*s/m^2, m=0,05kg, v=15m/s, g=9,8m/s^2), ottengo ts=0,95s e H=5,9m , in ottyimo accordo con i risultati che si evincono dal software. Infine, td = 1,66 s, contro 1,602 ricavabile dal software. Si conferemerebbe, quindi ts<td. Attendo il responso del Prof.
Errata corrige: "Infine, td=1,35 s , contro 1,39s ricavabile dal software".
In definitiva, risulterebbe: ts=0,95s, td=1,39s, quindi ts<td.
Non so quasi nulla di fisica, né tantomeno oso impostare equazioni differenziali.
Io la metterei così, con un po’ di fantasia (spero non troppa).
A causa dell’attrito con l’aria la pallina perde energia rispetto a quella cinetica iniziale.
Quindi quando ritorna al suolo (a parità di massa) ha una velocità minore di quella iniziale.
Ora rispetto al tratto in discesa, immagino (qui la fantasia) di far scorrere il tempo all’indietro.
L’equazione del moto dovrebbe essere la stessa.
Abbiamo quindi una situazione similea quella del tratto in salita ma con la velocità iniziale un po’ più bassa.
Siccome arriva allo stesso punto (in sommità) con una velocità di “partenza” più bassa ci mette più tempo.
Riprendo l'ultima formula del primo commento, che qui riporto per comodità:
Da essa , esplicitandola rispetto al tempo, dovrei ricavare l'espressione di td (tempo di ricaduta della pallina al suolo).
Intanto, per esemplificarla un po', pongo:
Posso così riscrivere l'equazione come:
cioè:
Ricordando la definizione di logaritmo naturale:
cioè:
Ricordando le proprietà dei logaritmi:
cioè:
A questo punto, invoco lo sviluppo in serie di Taylor della funzione logaritmica (riporto la formula):
Per applicarla al mio caso, devo porre:
da cui:
Sostituento tale espressione di x nella formula dello sviluppo in serie, ottengo:
Decido ora di commettere un errore di approssimazione, considerando trascurabile il contributi della somma algebrica di termini del secondo membro dopo il primo... Con questa apporossimazione, posso allora scrivere la (1) come:
da cui ora è immadiato ricavare t:
Sostituendo in questa equazione i valori noti e/o imposti, ottengo alla fine:
td=1,41 s , valore vicino a quello ricavato dalla simulazione con il software Algodoo (1,39 s).
Beh, a questo punto non mi resterebbe che verificare il tutto con una pallina vera. Ma come lanciarla verticalmente con una data velocità e come riprenderla ad altro frame-rate per poterne misurare con decente precizione la posizione nel tempo ?
Non è così facile come con il palloncino...