Categorie: Fisica classica
Tags: caduta dei gravi leggi del moto accelerato quiz resistenza aria soluzione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
Soluzione della pallina lanciata in alto **
Il nostro Artù ha fatto un'analisi dettagliata ed è anche passato alla prova sperimentale. L'intuito dei nostri due commentatori è, comunque, giusto. L'esercizio può essere risolto analiticamente senza entrare nella descrizione della resistenza dell'aria...
Quando la pallina è lanciata in alto sia l'accelerazione dovuta alla gravità sia quella della resistenza sono dirette verso il basso. Il che vuole dire che la pallina decelera di più che nel caso di pura gravità. Possiamo perciò concludere che l'accelerazione di salita asal è maggiore di g. La salita termina quando v = 0. Utilizziamo due formule basi della cinematica (che abbiamo trattato in altri casi):
v2 - 2asal h = 0
v - asal t = 0
Eliminando v otteniamo il valore del tempo di salita tsal
tsal = √(2h/asal)
Quando la pallina scende l'accelerazione dovuta alla resistenza dell'aria è sempre diretta verso l'alto, mentre l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso. Ne segue che:
adis < g
La pallina scende di uno spazio h (definito dalle condizioni cinematiche di salita) e impiega un tempo tdis. La sua legge del moto è data da:
h = 1/2 adis tdis2
Ossia:
tdis = √(2h/adis)
Possiamo perciò scrivere:
tsal/tdis = √(adis/asal) < 1
per cui
tdis > tsal
Un esercizio che necessita di un minimo ragionamento di partenza. Dobbiamo, infatti, tener conto che il tratto si salita sarà ridotto rispetto al caso di resistenza nulla, ma è, comunque, governato da un'accelerazione maggiore di g. Il tratto di discesa vede la stessa altezza h, ma percorsa con un'accelerazione minore di g. da cui è comprensibile che necessiti del tempo più lungo.
Possiamo pensare ad una piuma tirata verso l'alto... Se imprimo una certa velocità di partenza la piuma è costretta comunque a salire anche se di poco. Se la resistenza è sufficientemente grande la piuma non riesce, però, nemmeno a cadere, ossia il suo tempo di caduta diventa infinito. Chissà se Galileo aveva intuito questa soluzione nella sua caduta dei gravi?
4 commenti
Per curiosità ho chiesto a Chatgpt. Questa è la risposta:
Se consideriamo l’attrito dell’aria, il comportamento della palla lanciata verso l’alto cambia leggermente. L’attrito dell’aria agisce come una forza resistente che rallenta la palla durante la salita e la discesa. Ecco cosa accade:
In sintesi, considerando l’attrito dell’aria, sia il tempo di salita che il tempo di discesa saranno maggiori rispetto al caso ideale. Tuttavia, la relazione tra i due tempi rimane la stessa: il tempo totale (salita + discesa) è ancora due volte il tempo di salita.
caro Leandro,
grazie del commento. Ovviamente, entrambi i tempi devono allungarsi dato che la resistenza si oppone al moto ideale.
Qualcosa non mi torna nella risposta di chatGPT (non che mi aspettassi qualcosa di diverso. ChatGPT per ora va presa con le pinze quando interrogata su argomenti simili, le risposte sbagliate si sprecano..)
Se è vero che la resistenza dell'area si oppone al moto di salita e poi a quello di discesa, è pur vero che essa fa raggiungere alla pallina un'altezza minore rispetto al caso del moto nel vuoto. Quindi, facendo i conti, il tempo di salita risulta minore di quello che avrei nel vuoto, e la stessa cosa accade col tempo di discesa.
Chiaramente, date le basse velocità in gioco e la viscosità dell'aria, in regime laminare, cioè con resistenza proporzionale linearmente con la velocità (per moti turbolenti si passa alla proporzionalità con il quadrato della velocità) , le differenze con il caso del vuoto sono prossime allo zero. Ma se , per esempio, con una massa di 50 grammi lanciata verticalmente in alto a 15 m/s ipotizzo un mezzo con viscosità molto maggiore di quella dell'aria (0,0105 kg/m s al posto dei 18*10^-6 kg/m s dell'aria..) ho:
Entrambi i tempi, di salita e di discesa, risultano inferiori a quelli del caso nel vuoto. Questo perchè, appunto, l'altezza raggiunta è minore (praticamente la metà di quella del caso nel vuoto).
Arturo ha pienamente ragione, direi... i tempi si allungano (a parità di altezza raggiunta), ma la pallina arriva prima al termine della salita rispetto al caso ideale.