30/06/24

(Q) Si fa per ... ridere! ** (con soluzione)

Categorie: Matematica Tags: faccia sorridente geometria quiz Scritto da: Vincenzo Zappalà Commenti:13

Qualche cerchio, pochi segmenti ed ecco un bel "faccione" mascherato che ride apertamente.

Ciò che sappiamo è che l'area della bocca (rossa) vale A. Si chiede:

Quanto vale l'area della mascherina nera?

SOLUZIONE

Gli ultimi commenti di Arturo riportano sia la soluzione che una simpaticissima animazione: le due are.e rimangono uguali anche variando le dimensioni della bocca.

13 commenti

Vincenzo Zappalà

03/07/2024 at 09:53

mi stupisco del silenzio... si fa per ridere, ma la soluzione esiste...
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 11:23

Io non ho capito se i cerchi minori interni (occhi e naso) stanno lì solo per dare appunto la forma di un viso alla figura complessiva oppure se c'entrano con la geometria del problema. Se non li considero parte della geometria, e quindi li elimino dalla costruzione, ottengo la seguente figura:

In base ad essa trovo che:

$A=\frac{\pi }{2}R^2sen^2\theta -\frac{\pi R^2}{180}\theta -\frac{R^2}{2}sen2\theta$

Se sapessi R, visto che A è un dato del problema, potrei ricavarmi l'angolo $\theta$ .

Inoltre, indicando con An l'area della mascherina nera, ottengo:

$An=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi R^2}{180}\theta +\frac{R^2}{2}sen2\theta$

cioè, confrontandola con la precedente:

$An=A+\frac{\pi R^2}{2}cos^2\theta$

con valore variabile al variadell'angolo $\theta$ (varia anche A con tale angolo).

In sostanza, per come ho capito io il problema (sicuramente male, conoscendo il Prof ) esso mi risulta al momento indeterminato.
Vincenzo Zappalà

03/07/2024 at 11:32

No, caro Arturo... ogni cerchio deve stare al suo posto, ma a noi interessa solo la parte nera. Qualcuno è forse inutile, ma quale?
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 11:51

Ok, ma i cerchi di naso e occhi hanno per caso lo stesso diametro ? Se si, allora teta = 60° , per cui An=1,7 A (circa) .

Ho considerato inutili i cerchi delle pupille.
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 12:08

Se poi devo detrarre, giustamente, alla mascherina l'area dei due occhi, allora An diventa pari ad A (circa, 1,004). Sempre salvo errori , sempre probabili a questa particolare ora del giorno (fame... ecco, un problema che l'IA non ha )
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 14:08

equivalente della figura del quiz, elaborata con Geogebra per il caso teta=60° (cerchi di naso e occhi congruenti)

(approfitto per segnalare che nella formula che esprime l'area A nel primo mio commento è presente un errore di segno. Il terzo termine a secondo membro va col segno + e non con il segno - )
Vincenzo Zappalà

03/07/2024 at 15:42

Gli occhi bianchi e il naso sono tangenti internamente alla mascherina e al segmento di cerchio bianco, rispettivamente...

Attenzione! nessuno ha detto che occhi e naso abbiano la stessa area. Il semicerchio bianco (completo) NON ha lo stesso diametro del semicerchio rosso (completo). Puoi fare varianti alla figura cambiando il rapporto di questi due raggi... Cerca di ripetere tutti i calcoli in modo chiaro... Al limite puoi chiedere ad IA
Vincenzo Zappalà

03/07/2024 at 16:14

qualcosa del genere...
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 18:02

Io ho pensato sempre che la falce (bocca) rossa fosse una parte del semicerchio di raggio r e che la mascherina nera fosse una parte del semicerchio di raggio R (con R>r). L'intersezione tra di due suddetti semicerchi è il segmento circolare bianco , contenente il naso. Allora, indico con Asc l'area di tale segmento circolare e con Aocchi l'area dei due occhi.

Evidentemente deve essere:

$A=\frac{\pi r^2}{2}-Asc$ (1)

e

$An=\frac{\pi R^2}{2}-A_{sc}-A_{occhi}$ (2)

Sottraendo membro a membro la (1) e la (2) ho:

$A-An=\frac{\pi r^2}{2}-\frac{\pi R^2}{2}+A_{occhi}$ (3)

Ora, il diametro degli occhi è pari a $\sqrt{R^2-r^2}$ , quindi l'area di ciascuno occhio è pari a $\frac{\pi (R^2-r^2)}{4}$ . Quindi:

$A_{occhi}=2 \frac{\pi (R^2-r^2)}{4}=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi r^2}{2}$ (4)

Quindi, la (3) diventa

$A-A_{n}=0$

da cui A=An, per qualsiasi valore dell'angolo $\theta$ delle mie precebeti figure.
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 18:14
Vincenzo Zappalà

03/07/2024 at 18:45

Mi ero spiegato male... ora tutto è OK: le due aree sono sempre uguali. Non capisco come mai nell'animazione le aree sembrano diverse... (leggendo i numeri).
Arturo Lorenzo

03/07/2024 at 20:26

La leggera differenza tra i valori numerici delle aree e' dovuta all'apptossimazione del calcolo delle aree mediante poligoni composti da n lati.. Quei valori, cioe', non risultano da un calcolo ma da una "misura" fatta appunto approssimando i tratti curvilinei con spezzate di n lati.
Vincenzo Zappalà

04/07/2024 at 11:07

come immaginavo... grazie Artù. La tua animazione è veramente simpatica!!

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