L'IA ce la fa??? ***
Vorrei togliermi un dubbio... vi propongo due problemi di matematica, invero non molto difficili. Da voci di corridoio (sicuramente false) mi è stato detto che l'IA si è impantanata. Beh... io non posso provarlo, dato che non so usare -né mai ci proverò - chatGPT o photomath per la soluzione di questo tipo di problemi. Qualcuno di voi ne è certamente capace (vero Albertone?)...
PROVATE, allora, e datemi la risposta di colei (l'IA) a cui sarà probabilmente affidata la capacità intellettuale del nostro futuro, scuole comprese. Io li ho risolti per i fatti miei e in modo estremamente semplice, utilizzando qualcosa che l’IA ancora non possiede e penso non possederà mai…
Pronto, ovviamente, a chiedere scusa...
ESERCIZIO 1
Risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite
ESERCIZIO 2
Determinare le soluzioni dell'equazione
xx = x2025
5 commenti
Per la seconda gemini di google (versione free) dice che il risultato più probabile è semplice è 1 ma dice che ci sono altre soluzioni ma la loro determinazione è troppo impegnativa e quindi ha preferito desistere. Almeno è stato onesto
ChatGPT per il sistema fa un sacco di passaggi per ricavare una terna x, y, z = 3, 4, 12. In realta' io manualmente trovo due terne: 12, 3, 4 e 6, 27/5, 38/5. Sempre ChatGPT per il secondo quesito trova solo la soluzione x=2025.
Senza l’uso dell’intelligenza artificiale ma con il semplice utilizzo della logica umana:
dal quesito numero 1 (sistema di tre equazioni in tre incognite) sommo la prima con la seconda:
xy + z + xz + y = 40 + 51 → x(y +z) + (y + z) = 91
mettendo in evidenza y + z:
(y + z)(x + 1) = 91 (1)
Ricavo dalla terza equazione y + z:
y + z = 19 – x e sostituisco nella (1):
(19 – x)(x + 1) = 91
Sviluppando: 19x + 19 – x^2 – x = 91 → -x^2 +18x – 72 = 0
e moltiplicando tutto per -1:
x^2 – 18x + 72 = 0 (2)
Ma la (2) si può scrivere:
x^2 – 12x – 6x + 6·12 = 0 → x(x – 12) – 6(x – 12) = 0
Mettendo in evidenza x – 12:
(x – 12)(x – 6) = 0 → x1 = 6 , x2 = 12
Sostituendo x1 = 6 nelle prime due equazioni:
6y + z = 40
6z + y = 51
Moltiplico la seconda per -6 e la sommo alla prima;
-36z – 6y = -306
z + 6y = 40
-35z = -266 → z = 266/35 = (7·38) / (7·5) = 38/5
sostituisco z nella seconda:
38/5 + 6y = 40 → y = (40 – 38/5)/6 = 27/5
Quindi: {x, y, z} = {6, 27/5, 38/5}
Sostituendo x2 = 12 nelle prime 2 equazioni:
12y + z = 40
12z + y = 51
Moltiplico la seconda per -12 e sommo con la prima:
-144z – 12y = -(51·10) – 51·2
z + 12y = 40
-143z = -572 → z = 572/143 = 4
sostituisco z nella seconda:
4 + 12y = 40 → y = (40 – 4) / 12 = 3
Quindi: {x, y, z} = {12, 3, 4}
Nel quesito 2, “logaritmizzando” entrambi i membri:
ln(x^x) = ln(x^2025) → x·ln(x) = 2025·ln(x) → x·ln(x) – 2025·ln(x) = 0
ln(x)·(x – 2025) = 0
che si annulla per ln(x) = 0 e x – 2025 = 0
ovvero x = 1 e x = 2025
Ma ci sarebbe anche x = -1 → (-1)^(-1) = (-1)^2025
Il primo membro si può infatti scrivere:
1 / (-1)^1 = -1 mentre il secondo membro è una potenza di base -1 ed esponente dispari che fa -1.
Ma se si considera l’identità del 2 quesito come identità tra due funzioni di x:
f(x) = x^x e g(x) = x^2025
cioè due funzioni esponenziali a base variabile.
Per una delle proprietà dei logaritmi:
x^x = e^(x·ln x) e x^2025 = e^(2025·ln x)
cioè f(x) = e^(x·ln x) e g(x) = e^(2025·ln x)
che sono due funzioni esponenziali con base positiva e quindi dovrebbero essere sempre positive (il dominio di entrambe è tra 0 e +∞ aperto a destra e sinistra)
quindi non ammetterebbero la soluzione x = -1
Ad Enzo l’ardua sentenza...
Grazie amici...
Artù riassume bene la situazione: L'IA sarebbe stata bocciata! In matematica non si possono dimenticare per strada alcune soluzioni. E' meglio limitarci a domande più semplici e non fidarsi troppo... Artù e Andy, ovviamente, rispolverano un attributo ormai obsoleto dell'essere umano: l'intuito intellettuale.
Approfitto di questo piccolo (?) scherzo per fare il punto sulle equazioni logaritmiche, senza perdere pezzi per strada. A più tardi...
Chi volesse vedere la mia soluzione del sistema, la trova facendo click qui
Scusate la calligrafia, ho usato ieri sera, ormai a letto prima di dormire, il pennino dello smartphone per scrivere direttamente a mano la soluzione sul display .