Categorie: Matematica
Tags: geometria numeri primi Olimpiadi quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Facciamo sul serio ... ****
Un problema non facile dato alle olimpiadi di matematica di molti anni fa. In particolare, si vuole la soluzione per via puramente geometrica. Forza e coraggio, miei prodi!
Siano
a > b > c > d > 0 (numeri interi positivi).
Supponendo che:
(ac + bd) = (a + b + d - c)(b + c + d - a)
Dimostrare che
(ab +cd ) NON può essere un numero primo.
Se volete, provate anche ad interrogare l'IA, ma, ovviamente, è necessario descrivere perfettamente i vari passaggi e dimostrarli. Non interessa tanto il risultato, ma come si riesce a ottenerlo.
12 commenti
Interpreto i quattro valori a, b, c, e d come i lati di un quadrilatero. Questo è possibile in quanto la relazione data ci assicura che b + c + d - a > 0, cioè che non c’è un lato che sia maggiore della somma degli altri tre.
Tra tutti i quadrilateri con lati a, b, c, e d ce n’è almeno uno che è ciclico.
Per provare questa asserzione, supponiamo che a + d > b + c e partiamo da un triangolo con lati a, d e b + c (cioè con i segmenti b e c sulla stessa retta). La somma degli angoli (opposti) tra a e d e b e c è > 180°.
Trasformiamo la figura riducendo man mano (in modo continuo) gli angoli tra a e d e b e c, fino ad avere c e d sulla stessa retta (questo è sempre possibile in quanto a + b > d + c). In questa situazione, La somma degli angoli (opposti) tra a e d e b e c è < 180°. Essendo la trasformazione continua, vuol dire che in una certa posizione <ad + <bc = 180°.
Analogo ragionamento si fa se a + d < b + c (invertendo i ruoli).
Se a, b, c, e d sono i lati di un quadrilatero ciclico, allora una delle sue diagonali p soddisfa la seguente relazione (trovata il giro nel web. Ma forse è una nozione che in un contesto olimpico si ritiene nota):
p^2 = (ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd).
Pertanto, vale che (ab + cd)p^2 = (ac + bd)(ad + bc) = (b + d – a + c)(b +d + a – c)(ad + bc).
Essendo il secondo membro di questa relazione un numero intero, comporta che p^2 sia un intero o un razionale.
Se p^2 è un numero razionale (risotto ai minimi termini) per avere l’uguaglianza vuol dire che (ab + cd) è un multiplo del denominatore di p^2. Quindi la tesi.
Se p^2 è un intero e (ab + cd), per assurdo, un numero primo, allora questo deve dividere uno dei termini al secondo membro.
Risulta però che ab + cd > ad + bc, essendo a(b – d) > c(b – d).
Similmente si prova che ab + cd > (a + b + d – c) > (-a + b + d + c).
Infatti per le ipotesi date, da b >= c + 1 >= d + 2 >= 3 segue che ab + cd > 3a > (a + b + d – c).
Che contraddice l’ipotesi fatta e quindi prova la tesi.
PS
Non so se sia abbastanza "geometrica" e mi aspetto osservazioni di vario tipo su alcuni passaggi.
Sono curioso di vedere altre strade, geometriche o meno.
"Interpreto i quattro valori a, b, c, e d come i lati di un quadrilatero. Questo è possibile in quanto la relazione data ci assicura che b + c + d - a > 0, cioè che non c’è un lato che sia maggiore della somma degli altri tre".
Quale relazione ci assicura quanto dici?
a > b > c > d
d = 1
c = 2
b = 3
a = 8
1 + 2 + 3 - 8 = -2 < 0
Forse ho capito male...
Immagino che tu deduci quanto detto dalla seconda relazione, ma bisogna farlo presente e dimostralo, anche se con poche parole... Non possiamo dar niente per scontato se vogliamo essere veramente didattici...
"Interpreto i quattro valori a, b, c, e d come i lati di un quadrilatero. Questo è possibile in quanto la relazione
(ac + bd) = (a + b + d - c)(b + c + d - a)
data ci assicura che b + c + d - a > 0, cioè che non c’è un lato che sia maggiore della somma degli altri tre".
Infatti, essendo a > b > c > d > 0 (numeri interi positivi), il numero a sinistra è un intero positivo.
Pertanto essendo il primo fattore del membro di destra positivo deve esserlo anche il secondo.
Cioé a < b + c + d.
Se vale per a, vale a maggior ragione per ogni altro valore.
bene!
Il quadrilatero DEVE essere ciclico, per forza...
Superato lo scoglio della ciclicità (si può ottenere in modo ben definito), il resto mi sembra ottimo!
"Superato lo scoglio della ciclicità (si può ottenere in modo ben definito),"
Puoi precisare un po di più?
Anche solo qualche hint.
"il resto mi sembra ottimo!"
Mi è sorto un grosso dubbio sulla correttezza/completezza della mia prova.
Provo ad aggiustarla un pò.
Se p e q sono le diagonali del quadrilatero (a,b,c,d), allora p*q = ac + bd.
Questo implica che p e q sono numeri razionali (eventualmente uno o entrambi interi).
Questa parte
"Se p^2 è un numero razionale (risotto ai minimi termini) per avere l’uguaglianza vuol dire che (ab + cd) è un multiplo del denominatore di p^2. Quindi la tesi"
va cambiata così:
Se p razionale (il caso intero vale come fatto nel commento rpecedente), allora il denominatore di p^2 è un numero composto. Pertanto (ab+cd) che è un multiplo (o uguale: QUESTO MANCAVA NEL TENTATIVO PRECEDENTE) di questo denominatore è un numero composto.
Niente da fare.
Ecco un controesempio: se p=8/√17 e q=√17/4 si ha che p*q =2 e p/q = 32/17.
Si potrebbe anche “ridurre” il quadrilatero ad un triangolo rettangolo ed applicare il teorema di Pitagora. Mi spiego meglio:
considerando il secondo membro dell’equazione
(ac + bd) = (a + b + d – c)·( b + c + d – a)
questo si può considerare un prodotto notevole:
(a + b + d – c)·( b + c + d – a) =
= [(b + d + (a – c)]·[(b + d – (a – c)] =
=^2&space;-&space;(a-c)^2)
e quindi:
(ac + bd) =^2&space;-&space;(a-c)^2)
(1)
La (1) presenta al secondo membro una differenza di quadrati e allora, imponendo che sia un quadrato anche il primo, la (1) rappresenta esattamente il teorema di Pitagora, dove:
ac + bd = quadrato cateto maggiore
d = una certa costante
(l’assegnazione dei lati del triangolo è coerente dato che a > b > c > d > 0)
Ora, ricordando che due numeri interi, uno dispari e l'altro pari, coprimi tra loro, generano una terna pitagorica:
si possono creare infinite terne che soddisfino il sistema di 4 equazioni prima riportato.
Ad esempio per m=2 ed n=5, la terna sarà: {29, 20, 21} ed inserendo i valori nel sistema (considerando la radice quadrata dei termini presenti al quadrato):
ac + bd =
= 441
(b + d) = 29
(a – c) = 20
d = 4
la scelta di d = 4 è fatta ad hoc per ricavare valori interi di a, b, c, d,
ma a d si può assegnare un qualunque valore reale minore di c (la sostanza delle cose non cambia); risolvendo e considerando solo le soluzioni positive:
a=31, b=25, c=11, d=4
ab + cd = 31·25 + 11·4 = 819 che non è primo.
Un altro esempio con m ed n differenti:
m = 4, n = 11 terna: {137, 88, 105}
ac + bd =
= 11025
(b + d) = 137
(a – c) = 88
d = 16
a=149, b=121, c=61, d=16
ab + cd = 149·121 + 61·4 = 18273 che non è primo
Ma dato che esistono infinite terne pitagoriche, esisteranno infiniti quadrilateri generati con il metodo prima descritto; il fatto che i valori dei lati potranno essere tutti interi, alcuni interi altri irrazionali o tutti irrazionali, non inficia sulla logica del ragionamento, nel rispetto del vincolo a > b > c > d > 0.
Per dimostrare il fatto che ab + cd non può essere primo, basta scriverlo come:
(ab + cd) = (ac + bd)·(ab + cd)/(ac + bd)
e considerando il rapporto (ab + cd)/(ac + bd) uguale ad un certo numero q ovvero
q = (ab + cd)/(ac + bd)
l'eguaglianza precedente si potrà scrivere:
(ab + cd) = (ac + bd)·q
ed essendo ac + bd un certo numero al quadrato (quindi composto se intero) moltiplicato per una quantità q (intera o frazionaria o irrazionale che sia) il prodotto non può essere un numero primo.
Inoltre, dato che il quadrilatero abcd deve essere ciclico, la qualità di non essere numero primo di ab + cd, si evince anche ricordando due formule, già trattate in questo circolo, sui quadrilateri ciclici:
la formula di Brahmagupta (per la determinazione dell’area noti i lati) e
la formula di Parameshvara (per la determinazione del raggio del cerchio circoscritto noti i lati).
Dato che in entrambe appare il termine (ab + cd) come fattore moltiplicativo (sotto radice),
elevando tutto al quadrato ed isolando proprio il termine (ab + cd), questo sarà uguale al quadrato dell’aerea o del raggio, moltiplicati per una certa quantità ( intera o frazionaria o irrazionale che sia), analogamente a quanto vista prima, confermando la qualità di non essere primo della soma di prodotti ab + cd.
Sono state dette molte cose giuste e altre sicuramente migliorabili. Non vorrei che si creasse confusione... Agirei così: io scrivo con grande semplicità la soluzione che propongo. Andy e spmrnt21 (o come si chiama... ma sei un alieno???
) potrebbero intervenire e cercare di renderla ancora più semplice... Senza figure e nei commenti è difficile seguire la logica...