Questo articolo è una delle tante "ciliegine cosmiche" che potete gustare QUI

Questo articolo vuole solo sfiorare uno dei più importanti principi della Natura (forse addirittura il più grande...). Prendetelo come ciliegina, senza pretendere di andare troppo a fondo. Al limite può servire per capire la ragione del magnifico articolo di Fabrizio sulla Lagrangiana e sugli svariati esempi da lui magistralmente riportati.

Qual è stata la più grande fortuna di Newton? Presto detto. "Non essere vissuto ai tempi di Guglielmo Tell". Il perché è facile da capire guardando la vignetta che segue...

Se fosse capitato questo evento avremmo avuto la possibilità di risolvere i problemi di meccanica classica? Beh... sicuramente sì. Bastava aspettare Lagrange (insieme a Eulero). Non avremmo parlato di forza e di accelerazione, ma avremmo, comunque, potuto calcolare il movimento di un corpo. Il nostro Fabrizio ci ha mostrato come fare nel suo splendido e accurato articolo sulla Lagrangiana. A monte di tutto ciò, vi è però una realtà molto più profonda.

Partiamo da lontano. Sia P una particella o quello che volete (per adesso). Il suo scopo è di raggiungere la posizione Q. Che traiettoria "sceglie"? Beh, siamo più che convinti del fatto che cerca di descrivere quella più corta (sempre che non abbia vincoli particolari a cui obbedire). In poche parole, sceglie il percorso meno faticoso e/o dispendioso. Potremmo dire che la Natura è pigra.

Immaginiamo, adesso, che P sia un fotone e che debba raggiungere un punto Q che è immerso nell'acqua. Descrive nuovamente il percorso più corto? No, assolutamente no. Questa volta sceglie il percorso che può essere compiuto nel minor tempo possibile che non è certo quello più corto (rifrazione). Cosa analoga capita se imponiamo che P raggiunga Q, anch'esso in aria, dopo aver "toccato" l'acqua (riflessione).

Senza entrare nella matematica più di tanto, possiamo concludere che il percorso che viene effettuato in Natura segue una certa legge, che possiamo chiamare della pigrizia o di ciò che preferite. Molto dipende dai vincoli che poniamo al problema.

Le leggi della dinamica di Newton saprebbero come rispondere, ma abbiamo visto che Guglielmo Tell gli ha rotto le uova nel paniere.

Lasciamo quindi da parte la forza e l'accelerazione e consideriamo delle grandezze più facili da trattare, ossia delle grandezze scalari, indipendenti dal sistema di riferimento. Cosa c'è di meglio dell'energia cinetica e di quella potenziale? La prima si riferisce a quanto cambi nel tempo la posizione, la seconda la distanza dal punto di arrivo, ossia la sua posizione.

Scriviamo la relazione (in realtà l'ha scritta Lagrange):

L = K - U

Dove K è l'energia cinetica e U quella potenziale.

Il corpo P vuole andare a trovare Q. Quale strada sceglie. Bene, quella che rende, in qualche modo, minima l'AZIONE da compiere. E che cosa è l' AZIONE. Non è difficile da immaginare: la somma delle differenze tra le due energie punto per punto. Sappiamo come scrivere una somma con infiniti termini. Basta introdurre l'integrale di questa differenza tra il tempo t₁ di p0artenza e il tempo t₂ di arrivo. Ossia:

S = ∫_t1^t2 (K - U) dt

La traiettoria descritta da P è quella che rende MINIMO il valore dell'integrale, ossia rende minima l'AZIONE (in realtà sarebbe meglio dire stazionaria, ma restiamo pure in un ambito molto semplificato).

Ciò che resta da fare è, perciò, rendere minimo il valore dell'integrale e ciò si riesce a fare cercando la condizione in cui la derivata è nulla e questo porta all'equazione di Eulero-Lagrange. Non mi dilungo oltre, dato che Fabrizio ha svolto tutti i calcoli necessari e fatto numerosi esempi, in cui si dimostra che anche con Guglielmo Tell tra i piedi, i problemi della meccanica classica possono essere risolti. A volte in modo più complicato che con le leggi di Newton, ma, molte altre volte, semplificando di molto il problema, soprattutto quando esso è soggetto a un certo numero di vincoli. E' inutile introdurre forze e accelerazione quando basta calcolare le due energie e risolvere l'equazione di Eulero-Lagrange.

Come capita spesso, una visione molto semplice ma intuitiva di ciò che fa la Natura è stata illustrata da Feynman. Immaginiamo un moto parabolico. Anzi, è meglio dire un moto che faccia passare una pallina da A a B, sotto certe condizioni. Essa ha a disposizione infinite soluzioni, anche le più strane e contorte, ma, invece, sceglie la strada che rende minima l'AZIONE. Quale sarebbe l'azione? Beh... la somma delle differenze di energia punto a punto. In altre parole, trovare il giusto compromesso tra le due energie in modo da rendere minima la somma delle loro differenze. Facciamo un esempio: ipotizziamo che la pallina cerchi di guadagnare energia potenziale in modo da rendere minima la differenza della Lagrangiana. Potrebbe farlo, salendo più il alto, ma per far ciò dovrebbe aumentare la sua energia cinetica dato che deve percorrere più spazio in un certo periodo di tempo. Potrebbe, però, restare in alto il più possibile... ma, se lo facesse, acquisterebbe una grande energia cinetica nella sua caduta. La Natura sceglie il giusto compromesso.

Non è difficile cadere nella teologia... La minima azione sembra essere la regola di tutta la Natura, una regola "divina". Infatti, essa può essere applicata a tutta la fisica, compresi l'elettromagnetismo, la relatività, la stessa meccanica quantistica. Il nostro Fabrizio ci a mostrato come le leggi del moto di Newton,si ricavano dalla Lagrangiana. In modo simile si dimostra che nell'elettromagnetismo si ricavano le leggi di Maxwell, nella relatività le equazioni di Einstein, in meccanica quantistica sia l'equazione di Schroedinger che quella ancor più generale di Dirac. Per non parlare dei diagrammi di Feynman.

E più passa il tempo e più viene applicata la Lagrangiana (o la sua "trasformata" Hamiltoniana) per superare ostacoli eccezionali. Sono anch'essi ricavabili dal concetto di minima zione.

Siamo di fronte alla teoria del tutto? No, la minima azione è un principio su cui si basa la Natura, ma non possiamo certo contare sulla lagrangiana per spiegare il tutto...