Categorie: Matematica
Tags: algebra geometria quiz sistema trigonometria
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:2
(Q) Quando la geometria ci mette lo zampino (con soluzione) ***
Un sistema che sembrerebbe essere praticamente insuperabile o, almeno, estremamente complicato, trova un'elegante e facile soluzione sfruttando la geometria.
Il sistema da risolvere è il seguente:
x2 + y2 + xy = 1
x2 + z2 + xz = 4
y2 + z2 + yz = 5
con x, y e z positivi.
Abbiamo di fronte un sistema di ottavo grado (2 · 2 · 2). Non vogliamo, però, le soluzioni, ma soltanto
il valore di x + y + z
La soluzione che riporterò è quasi puramente geometrica, ma sono convinto che la troverete anche voi insieme, magari, a qualche soluzione puramente algebrica.
SOLUZIONE
Il commento di Andy risponde perfettamente al quesito!
2 commenti
Osservando i termini noti al secondo membro delle tre equazioni, balza all’occhio il fatto che questi sembrano essere i quadrati dei lati di un triangolo rettangolo di misure 1, 2, √5
ovvero: 1^2 + 2^2 = 5
Mentre i primi membri potrebbero condurre al teorema del coseno applicato ad un triangolo qualunque, con il prodotto tra i due lati consecutivi che necessita di una trasformazione.
Infatti, affinché
x^2 + y^2 + xy = x^2 + y^2 − 2xy·cos(θ)
deve essere
xy = −2·xy·cos(θ) → 1 = −2·cos(θ) → θ = 120°
Allora il sistema di tre equazioni originario diventa equivalente a:
x^2 + y^2 – 2xy·cos(120°) = 1
x^2 + z^2 – 2xz·cos(120°) = 4
y^2 + z^2 – 2yz·cos(120°) = 5
quindi, all'interno del triangolo rettangolo 1, 2, √5, si possono costruire tre triangoli di lati consecutivi x e y, x e z, y e z, tali che che l’angolo incluso sia 120° per tutte e tre le coppie.
Ora, l’area del triangolo rettangolo è:
Area triangolo rettangolo {1, 2, √5} = (2×1)/2 = 1
Ma la stessa area è, ovviamente, pari alla somma dei singoli triangoli interni A, B, C:
Area triangolo rettangolo = Area(A) + Area(B) + Area(C)
E poiché l’area di un triangolo qualsiasi si può esprimere come il semi-prodotto di due lati consecutivi per il seno dell’angolo compreso, si avrà:
Area(A) = (1/2)·xy·sen(120°) = (1/2)·xy·(√3 / 2) = (√3 / 4)·xy
Area(B) = (1/2)·xz·sen(120°) = (1/2)·xz·(√3 / 2) = (√3 / 4)·xz
Area(C) = (1/2)·yz·sen(120°) = (1/2)·yz·(√3 / 2) = (√3 / 4)·yz
Ordinando e sviluppando:
Area(A) + Area(B) + Area(C) = (√3 / 4)·(xy + xz + yz)
(√3 / 4)·(xy + xz + yz) = 1 → xy + xz + yz = 4√3 / 3
La determinazione della somma dei prodotti di lati consecutivi per mezzo del calcolo delle aree, torna utile per ricavare il risultato di x + y + z;
difatti sommando membro a membro tra loro le tre equazioni originali, si ottiene:
2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + xz + yz) = 10 (1)
ma la somma dei tre quadrati equivale al quadrato della somma dei singoli termini meno il doppio prodotto delle coppie di termini, ovvero:
(x^2 + y^2 + z^2) = (x + y + z)^2 – 2(xy + xz + yz) (2)
e sostituendo nella (1):
2(x + y + z)^2 − 4(xy + xz + yz) + (xy + xz + yz) = 10 (3)
semplificando i termini comuni della (3):
− 4(xy + xz + yz) + (xy + xz + yz) = −3(xy + xz + yz) = −3·(4√3 / 3) = −4√3
e quindi la (3) diventa:
2(x + y + z)^2 − 4√3 = 10 →
2(x + y + z)^2 = 10 + 4√3 →
(x + y + z)^2 = 5 + 2√3
Estraendo la radice quadrata e considerando solo il radicale positivo a destra si otterrà:
x + y + z = √(5 + 2√3)
che dirti Andy... PERFETTO!!!!!
