Quanto è grande l'Universo ?

Ancora non sappiamo se l'Universo, nella sua globalità, sia finito o infinito. Resta il fatto che le dimensioni di quello osservabile sono sicuramente finite e che molto probabilmente esso ha avuto un inizio e avrà una fine temporale. Vogliamo fornire qualche numero di carattere "fisico"? Bene, tralasciamo numeri che risultino sicuramente piccoli per i nostri scopi, tipo quante stelle ci sono nell'Universo o -meglio- quanti atomi e spingiamoci ai limiti. Per far ciò consideriamo le grandezze più piccole possibili, ossia quelle di Planck. Domandiamoci, allora, quanti volumi di Planck occorrerebbero per riempire l'Universo osservabile? Un calcolo non difficile che porta un valore di circa 10¹⁸⁶. Niente male... sempre meglio che il numero di tempi di Planck trascorsi dal Big Bang fino ad oggi che è "solo" di circa 10⁶⁰.

Numeri che potrebbero sembrare enormemente grandi, ma che, invece, sono ben lontani dal numero che è servito per una seria dimostrazione di un problema di matematica combinatoria e che prende il nome di Numero di Graham, grande matematico scomparso solo pochi anni fa.

Somma, prodotto, potenza ... e poi?

Ovviamente, se volessimo scrivere numeri più grandi sarebbe molto facile: basterebbe aumentare il numero di zeri nell'esponente: 10 ¹⁰⁰⁰ --> 10 ^1000000000 --> ecc., ecc. Cosa ci dicono queste scritture? Beh, lo sappiamo tutti: moltiplicare 10 per se stesso 1000 volte e moltiplicare 10 per se stesso 1000000000 di volte. Ci chiediamo: "Avrebbe senso tutto ciò?". Sicuramente no da un punto di vista scientifico, dato che questi numeri così creati non servirebbero a risolvere problemi effettivi. Inoltre, l'aggiunta di uno zero implica un aumento del numero, ma non in modo veramente rapido. In altre parole, l'elevamento a potenza è un sistema decisamente "lento" per far crescere un numero. Si può fare di meglio e proprio per questo scopo è stata introdotta un'operazione superiore a quelle "normali".

Partiamo dall'inizio e prendiamo come base il numero 3, dato che è proprio il numero che serve per la dimostrazione "seria" di cui abbiamo parlato.

La prima operazione è ovviamente la somma:

3 + 3 = 6

Il che vuol dire aggiungere la base a se stessa

Se volessimo proseguire con la somma, dovremmo scrivere:

3 + 3 + 3 = 9

Per semplificare la scrittura, abbiamo introdotto l'operazione prodotto:

3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9

Il che vuol dire sommare il 3 tante volte quanto ci viene detto dal numero dopo il segno di moltiplicazione. In pratica l'operazione prodotto ripete l'operazione somma un certo numero di volte.

A questo punto vogliamo ripetere l'operazione del prodotto, ossia:

3 x 3 x 3 = (3 + 3 + 3) x 3 = 3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 = 9 + 9 + 9 = 27

Sintetizzando:

3³ = 3 x 3 x 3 = 27

Abbiamo, così, introdotto l'operazione di elevazione a potenza.

Normalmente, le operazioni si fermano qui, ribadendo che ogni operazione è una ripetizione di quella precedente.

Niente ci vieta, però, di continuare ...

Iniziamo a scrivere 3³ come  3↑3. Essa ci dice che ciò che è scritto dopo la freccia diventa l'esponente.

Introduciamo, perciò, la tetrazione che viene indicata come:

3 ↑↑ 3

Cosa significa? Presto detto... La doppia freccia ci dice di ripetere l'operazione della singola freccia. Il secondo 3 ci dice quante volte si deve ripetere l'operazione.

3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ↑ ( 3↑ 3)

Ma 3↑ 3 = 3³     per cui

3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3³.

Abbiamo una sola freccia, per cui basta trasformare in esponente ciò che vi è a destra di questa:

3 ↑↑ 3 = 3 elevato a (3³) = 3^(3³)

Attenzione 1. Non è facile scrivere numeri in cui vi siano un grande numero di esponenti, per cui cercheremo, quando proprio necessario, di spiegare  a parole l'operazione che eseguiamo.

Attenzione 2.  Non siamo di fronte alla potenza di una potenza 3^3^3, per cui basterebbe moltiplicare tra loro gli esponenti (3 x 3 = 9) e ottenere 3⁹ = 19 683, ma un 3 elevato al cubo di tre, ossia a 27. In altre parole si calcolano le varie potenze partendo dall'alto. Questa nuova operazione è decisamente più rapida di quanto conosciuto finora. Infatti, 3 ²⁷ è uguale a circa 7.6 migliaia di miliardi!

E se aumentassimo soltanto il numero dopo le due frecce? Arriveremmo velocemente a qualcosa di veramente mostruoso... Infatti:

3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3)) = 3 ↑(3 ↑(27)) = 3 ↑(3 ↑ (27)) = 3 ↑(3²⁷) = 3 elevato a 7.6 migliaia di miliardi.

Cosa si fa, in pratica? Si scrive la base (3) e la si eleva a un esponente a più livelli, quanti ne indica il secondo numero mano uno (4 - 1 = 3), ossia 3 elevato a 3 elevato a 3 elevato a 3

Niente male, vero? Siamo arrivati a un numero dell'ordine di 10 elevato a dieci elevato a dodici. Qualsiasi problema di fisica non potrebbe certo avere bisogno di numeri del genere. La matematica invece sì, in particolare quella combinatoria.

In realtà, per questo tipo di problemi siamo solo all'inizio...

Si può andare oltre alla tetrazione e passare alla pentazione. Basta aggiungere una freccia...

3 ↑ ↑ ↑ 3

Proviamo a renderlo più comprensibile...

3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ 3 ↑ ↑  3

In altre parole dobbiamo svolgere tre volte l'operazione precedente, ossia la tetrazione...

3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑  3) =  3 ↑ ↑ (3 ²⁷)

Il che vuol dire tre elevato tre elevato tre per per  3²⁷ (= 7.6 migliaia di miliardi)  volte. Una vera e propria TORRE di 3 una sopra l'altro per 7.6 migliaia di miliardi di volte. Tre elevato tre elevato tre elevato tre .... elevato tre per 7.6 migliaia di miliardi di volte. No, non chiedetemelo di scriverlo dato che sarebbe praticamente impossibile. Ci deve bastare la rappresentazione con le frecce.

Purtroppo, malgrado non si sia più capaci di esprimere -o anche solo di immaginare- numeri di tale portata, si è solo all'inizio del numero necessario a dimostrare il problema matematico di cui si parlava all'inizio.

Il primo livello del numero di Graham si ottiene con l'esazione di 3, ossia con l'inserimento della quarta freccia.

Potremmo scrivere

3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 =  3  ↑ ↑ ↑ 3 ↑ ↑ ↑ 3

Chi ne avesse voglia, potrebbe anche eseguire i calcoli relativi, ricordando il significato di (3↑ ↑ ↑ 3) ossia 3 levato a 7.6 migliaia di miliardi di 3. La faccenda, comunque,  avrebbe ben poco significato.

Chiamiamo

G(1) = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3

il primo livello del numero di Graham

Per passare al secondo livello non basta pensare all'aggiunta di una freccia ulteriore, che vorrebbe solo dire di calcolare tre volte l'operazione con 4 frecce, ma inserire un numero di frecce pari al numero di Graham precedente.

G(2) = 3 - G(1) frecce - 3

Beh, questo sì che un grande numero, impossibile anche solo da immaginare. Ma siamo solo all'inizio...

Continuando in modo simile si arriva, finalmente, al numero di Graham vero e proprio che è G(64), ossia

C(64) = 3 - G(63) frecce - 3.

Nell'universo conosciuto non vi è assolutamente posto per tutte le cifre di questo numero, ma  esso è necessario per risolvere (parzialmente) il semplice problema di matematica combinatoria proposto.

Vediamo, finalmente, qual è il problema.

Un cubo, due colori e tante dimensioni

Immaginiamo di disegnare un quadrato e di unire ogni vertice con gli altri. Si ottengono 6 segmenti. A questo punto coloriamo a piacere questi segmenti in rosso oppure in blu. Ci chiediamo: "E' possibile inserire i due colori in tal modo da essere sicuri di non avere un quadrato con tutte le sei linee di un solo colore, giacenti tutte su un piano?". Ovviamente sì, potendo giocare con due colori.

Più interessante è il caso in cui invece del quadrato si consideri un cubo, ossia aggiungendo una dimensione. Beh... non è difficile trovare una combinazione di colori tale da EVITARE la configurazione monocolore. Potete provare e la faccenda si risolve facilmente. Nulla ci vieta di passare alle quattro dimensioni e via dicendo. Potrebbe sempre esistere  la possibilità di evitare la configurazione vietata, pur aumentando le dimensioni del nostro ipercubo.

Il nostro Graham è riuscito a determinare in modo ineccepibile (non chiedetemi come... ma c'è riuscito!) che esiste sicuramente un numero di dimensioni tale da non permettere di evitare il quadrato monocolore. Il che non vuol dire che non si possa evitare anche con numeri più piccoli, ma il numero di Graham pone un limite, dopo di che non è più SICURAMENTE  possibile evitare il quadrato. Oggi si è dimostrato che con 13 dimensioni si può ancora evitare, ma quale sia il numero minimo è ancora tutto da scoprire.

Nel video che segue lo stesso Graham spiega il problema.

Oltre Graham

L'Universo è troppo piccolo per il numero di Graham... ci vorrebbe un multiverso con un incredibile numero di  dimensioni oppure un universo enormemente più grande di quello che conosciamo... Ovviamente, è sempre possibile "immaginare" un numero ancora più grande... basta, ad esempio, andare avanti con la serie di Graham, oppure inserire il numero di Graham all'esponente di qualche base. Ma, non  potremmo mai esplicitarlo, dato che il tempo futuro dell'Universo, per lungo che sia, non potrebbe permetterci di scrivere questo numero, così come non avremmo spazio sufficiente per inserire una sua singola cifra all'interno del volume di Planck.  In altre parole, la sua grandezza è tale che non è possibile dare un'idea delle sue effettive dimensioni in termini non matematici.