Il quiz proposto al termine dell'articolo precedente non ha soluzione se si utilizzano le funzioni "normali", note a tutti coloro che conoscono la matematica di base. E' necessario INVENTARSI qualcosa di nuovo ed è ciò che ha fatto Lambert. In realtà, lui ne ha fornito le basi, riprese e sviluppate  dal solito Eulero. Una funzione che ha sonnecchiato per molto tempo, ma che è tornata in auge all'inizio del secolo scorso.

Consideriamo una funzione molto particolare:

y = xe^x

E' sempre possibile rappresentarla graficamente e utilizzare metodi iterativi di vario genere per immagazzinarla in un computer, ossia per dare immediatamente il suo valore inserendo una x qualsiasi. In fondo, è quello che facciamo con il logaritmo, la radice, ecc.

Disegniamola nella Fig. 2, insieme alla sua inversa x = ye^y

Sappiamo ormai molto bene come invertire una funzione graficamente e, di conseguenza, anche inserirla nuovamente in un computer dopo averla approssimata in modo quasi perfetto. Attenzione... mentre è possibile stabilire un metodo semplice per calcolare le radici quadrate (ma chi lo fa più?), le funzioni trigonometriche e il logaritmo (non facilmente), è decisamente fuori portata (almeno per noi) calcolare manualmente l'inversa della funzione xe^x. Possiamo, però, sempre costruirla attraverso sviluppi in serie e/o iterazioni successive. In poche parole chiedere quanto vale questa funzione per un certo valore di x è come chiedere quanto vale il logaritmo di un certo numero x. Ne segue che come soluzione di un problema basta scrivere ln(5) 0 √7 0 operazioni simili. Ne abbiamo già parlato la volta scorsa, ma è meglio ribadire questo concetto base.

E' venuto il momento di dare un nome alla funzione inversa di y = xe^x. Ovviamente, il suo nome non poteva che essere funzione di Lambert e viene rappresentata con il simbolo W. Dato un certo numero n scrivere W(n) vuol dire dare un risultato numerico esauriente, al pari di ln(5) o √7. La funzione è presente in alcune calcolatrici sofisticate, ma su internet si trova in WolframAlpha.

Prima di proseguire, notiamo, in Fig. 1, che mentre la funzione xe^x esiste in tutto il dominio - ∞ +∞ lo stesso non vale per la funzione inversa W. Essa non può essere minore di -1/e. Inoltre non vi è biunivocità nella funzione xe^x, ossia per un certo valore di y < 0 esistono due x che portano allo stesso risultato. In conclusione ciò che si fa è spezzare la xe^x in due parti, quella rossa e quella blu, così da ottenere due parti anche nella W come indica la Fig. 1.

In parole ultra semplici, tutto ciò vuol dire che data una certa x essa comporta valori di W non reali (immaginari)  per  x < -1/e, due valori, ciascuno su un ramo colorato, per valori di x < 0 e un solo valore per x≥ 0.

Ma perché complicarsi così la vita e perché introdurre una funzione così strana? In pratica, solo e soltanto perché vale la relazione fondamentale f^-1(f(x)) = x. Nel caso di Lambert, perciò:

W(xe^x) = x

Facciamo subito un esempio banale ma molto istruttivo. Dobbiamo risolvere l'equazione

x^x = 5

Possiamo applicare tutte le regole che conosciamo ma non riusciamo a trovare una x che soddisfi l'equazione. Tuttavia, se riuscissimo a scrivere la stessa equazione facendo comparire xe^x sapremmo come passare subito al valore di x. Basterebbe, infatti, applicargli la funzione di Lambert e avremmo la nostra x, completamente libera da operazioni.

Notiamo un ulteriore fatto molto importante. La relazione xe^x può anche presentarsi come g(x)e^g(x). L'applicazione della W porta a g(x). In parole banali è necessario che ciò che moltiplica l'esponenziale sia uguale all'esponente.

Riprendiamo la nostra equazione e cerchiamo di far venire fuori una funzione del tipo g(x)e^g(x)...

Eseguiamo il logaritmo di entrambi i membri

ln x^x = ln 5

Portiamo fuori la x, scrivendo

x ln x = ln 5

posso scrivere x come e^{ln x}

e^{ln x} ln x = ln 5

lnx e ^lnx = ln 5

Applico la funzione di Lambert a entrambi i membri e ottengo

ln x = W(ln 5)

Ora è banale ricavare la x, basta applicare l'operazione "e elevato":

e^{ln x} = x = e^{W(ln 5)}

La soluzione è stata trovata, dato che W(ln(5)) è una costante che può essere calcolata inserendo come costante il logaritmo di 5. Ricavato l'esponente è immediato ottenere e elevato a un certo numero.

A questo punto, rimetto in evidenza, nell'articolo precedente, il commento di Andy, che aveva già risolto l'equazione della volta scorsa attraverso la funzione di Lambert. Noi comunque svolgiamo lo stesso esercizio qui di seguito.

SOLUZIONE DELL' EQUAZIONE

2^x+x=5

2^x = 5 - x

2^x/2^x = (5 - x)/2^x

1 = (5 - x)2^-x

(-x + 5) 2^-x = 1

(-x + 5) 2^-x 2⁵ = 2⁵

(-x + 5) 2^{(-x + 5)} = 2⁵

Dobbiamo scrivere 2 in termini di e. Facilissimo, ricordando che:

e^{ln 2} = 2

e che

e^{a^(b) =} e^ab

(-x + 5)e ^{ln 2(-x + 5)} = 2⁵ = 32

Siamo quasi arrivati alla funzione che ci permette di applicare la W. Basta solo moltiplicare ambo i membri per ln 2:

ln 2(-x + 5)e ^{ln 2(-x + 5)} = 32 ln 2

Applichiamo la W a entrambi i membri...

ln 2 (- x + 5) = W(32 ln 2)

-x + 5 = W(32 ln 2)/ln 2

x = 5 - W(32 ln 2)/ln 2

Il secondo membro è adesso una costante formata da numeri facilmente calcolabili.

N.B.: Ho riportato una trattazione estremamente semplificata che permette di capire i concetti fondamentali. Ho, perciò, tralasciato una trattazione più corretta e completa sullo studio dei domini delle funzioni.  Quanto fatto, però, è sufficiente per risolvere moltissime equazioni in cui compaiono logaritmi, esponenziali e potenze.