Per la soluzione del quiz tornano utili un paio di concetti di geometria piana:

• si definisce excentro il punto di incontro tra il prolungamento della bisettrice di un angolo interno di un triangolo, con le bisettrici dei due angoli esterni compresi tra i prolungamenti dei lati contenenti il primo angolo e il lato opposto a quest’ ultimo,

come in figura seguente:

Il punto E_a è l’excentro opposto all’angolo del vertice A, ed è il centro di una circonferenza tangente al lato BC = a ed ai prolungamenti dei lati AC = b e AB = c.

Il raggio di questa circonferenza si definisce exraggio.

 

• L’incentro è il punto di incontro delle tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo ed è il centro della circonferenza inscritta, quindi tangente internamente ai lati del triangolo. Il suo raggio si definisce inraggio.

Costruita la figura seguente:

 

dove O_i è l'incentro del triangolo ABC, la sua area (d’ora in poi A_abc) è data dalla somma delle aree dei triangoli:

AO_iB , BO_iC , CO_iA

ovvero:

A_ABC = c∙r/2 + a∙r/2 + b∙r/2 = r·(a + b + c)/2

dove a + b + c = p  (perimetro)    →    (a + b + c)/2 = p/2 = s  (semiperimetro).

Per cui:

A_ABC = r·s , con r = inraggio.

 

Ma A_ABC si può esprimere anche come la somma delle aree dei triangoli ACE_a e ABE_a meno l’area del triangolo BCE_a , ovvero:

A_ABC = A(ACE_a) + A(ABE_a) – A(BCE_a)

A(ACE_a) = b·r_a / 2  ;  A(ABE_a) = c·r_a / 2  ;  A(BCE_a) = a·r_a / 2

A_ABC = (b·r_a + c·r_a – a·r_a) / 2 = (b·r_a + c·r_a + a·r_a – 2a·r_a) / 2 =

= r_a ·(a + b + c) / 2 – a·r_a    ;    ma dato che: (a + b + c) / 2 = p / 2 = s  allora:

A_ABC = r_a · s – a·r_a = r_a · (s – a)  ,  con r_a = exraggio.

 

Ragionamento analogo relativamente ai lati b e c, per cui:

A_ABC = r_a · (s – a)

A_ABC = r_b · (s – b)

A_ABC = r_c · (s – c)

Aggiungiamo la quarta equazione che esprime A_ABC in funzione dell’inraggio:

A_ABC = r·s

moltiplichiamo tra loro i primi membri delle quattro equazioni ed uguagliamo al prodotto dei secondi membri:

A⁴_ABC = r_a ·(s – a) × r_b ·(s – b) × r_c ·(s – c) × r·s =

= s(s – a)(s – b)(s – c)·r·r_a·r_b·r_c .

La parte evidenziata in blu è il quadrato della formula di Erone relativa ad A_ABC , per cui si può scrivere:

A⁴_ABC = A²_ABC ·r·r_a·r_b·r_c

dividendo tutto per A²_ABC :

A²_ABC = r·r_a·r_b·r_c

ed estraendo la radice quadrata:

A_ABC = √(r·r_a·r_b·r_c)

 

Ma se volessimo ricavare A_ABC direttamente in funzione dei soli exraggi?

Abbiamo visto che l’area in funzione dei singoli exraggi è esprimibile come:

A_ABC = r_a · (s – a)    ;    A_ABC = r_b · (s – b)    ;    A_ABC = r_c · (s – c)

dalla quale ricavando i singoli exraggi:

r_a = A_ABC / (s – a)  ;  r_b = A_ABC / (s – b)  ;  r_c = A_ABC / (s – c)

 

Consideriamo i reciproci:

1/r_a = (s – a) / A_ABC

1/r_b = (s – b) / A_ABC

1/r_c = (s – c) / A_ABC

e proviamo a sommarli:

1/r_a + 1/r_b + 1/r_c =

= (s – a) / A_ABC + (s – b) / A_ABC + (s – c) / A_ABC =

= (s – a + s – b + s – c) / A_ABC =

= ( 3s – (a + b + c) ) / A_ABC

e siccome a + b + c = p = 2s , sostituendo si ottiene:

( 3s – (a + b + c) ) / A_ABC =

= (3s – 2s) / A = s/A_ABC

 

Ma dato che, come visto in precedenza per l’inraggio, si ha:

A_ABC = r·s    →    r = A_ABC / s    →    1/r = s/A_ABC

allora:

1/r_a + 1/r_b + 1/r_c = 1/r

ovvero la somma dei reciproci degli exraggi è uguale al reciproco dell’inraggio;

o ciò che è lo stesso:

r = 1 / (1/r_a + 1/r_b + 1/r_c)

che sviluppata e posta su denominatore comune, si trasforma in:

r = r_a·r_b·r_c / (r_ar_b + r_ar_c + r_br_c)

e fornisce la misura dell’inraggio in funzione degli exraggi.

 

Ricordando che il quadrato di A_ABC è:

A²_ABC = r·r_a·r_b·r_c

sostituendo r come poc’anzi ottenuto:

A²_ABC = ( r_a·r_b·r_c / (r_ar_b + r_ar_c + r_br_c) ) ·  r_a·r_b·r_c =

= (r_a·r_b·r_c)² / (r_ar_b + r_ar_c + r_br_c)

allora:

A_ABC = r_a·r_b·r_c / √(r_a⋅r_b + r_a⋅r_c + r_b⋅r_c)