Sappiamo bene come costruire un'ellisse  con uno spago, due chiodi e una matita. E lo sapevano sicuramente anche nell'antichità, così come Leonardo da Vinci. Lui, però, amante delle "macchine", ha utilizzato metodi alternativi, tra cui uno estremamente interessante e a dir poco geniale. Non sappiamo come il grande Leonardo abbia dimostrato la validità del metodo, ma noi possiamo, oggi, dimostrarlo con un minimo di calcolo.

La Fig. 1 mostra uno schema della macchina leonardesca disegnato da me medesimo e, quindi, decisamente rozzo, ma, spero, comprensibile: Leonardo aveva fatto decisamente di meglio!

Consideriamo un squadra rigida, magari costruita in legno. All'estremità destra della parte verticale e a quella superiore della parte orizzontale inseriamo due guide che permettano lo scorrimento. Cosa vogliamo far scorrere? Presto detto: un'asta azzurra lunga quanto uno dei due bracci della squadra. L'estremità A dell'asta scorre in senso verticale, mentre l'altra estremità B scorre in senso orizzontale, come indicato dalle frecce. Su questa asta indichiamo un punto P tale che AP = a e PB = b, semiassi dell'ellisse che vogliamo costruire. Possiamo fare un foro nel punto P e inserirgli una matita o qualsiasi cosa che lasci un segno ben chiaro.

Partendo dalla posizione verticale dell'asta, la facciamo scorrere fino a che vada a coincidere con la posizione orizzontale. Il punto P descrive proprio un quarto di ellisse con semiassi  a e b, come mostra la Fig. 2. Ovviamente, la lunghezza costante dell'asta è sempre data da a + b.

Non ci resta che dimostrare in modo analitico quanto detto a parole.

Dobbiamo ricordare una banale formula che permette di scrivere le coordinate di un punto P interno a un segmento AB, in funzione del rapporto tra AP e BP. Nel nostro caso AP = a e BP = b (Fig. 3).

Deve valere l'uguaglianza:

AP/PB = a/b

Le coordinate di A siano xA e yA, quelle di B siano xB e yB, mentre quelle di P siano x e y. Possiamo scrivere:

(x - xA)/(xB - x) = a/b

e

(y - yA)/(yB - y) = a/b

Da cui si ricava

x = (xB a + xA b)/(a + b)

y = (yB a + yA b)/(a + b)                      .... (1)

Spostiamo, adesso, l'origine O degli assi nel punto B iniziale (Fig. 4).

In tali condizioni, i punti A e B,  dopo uno scorrimento qualsiasi dell'asta, risultano essere:

A(0, yB)

B(xB, 0)

Andiamo a sostituirli nelle relazioni (1)

x = (xB a)/(a + b)

y = (yA b)/(a + b)

ossia

x/a = xB/(a + b)

y/b = yA/(a + b)

Quadriamo le due relazioni e sommiamole

x²/a² = xB²/(a + b)²

y²/b² = yA²/(a + b)²

x²/a² + y²/b² = (xB²+ yA²)/(a + b)²

Consideriamo il triangolo rettangolo di Fig. 3.

Il cateto verticale ha come lunghezza proprio yA, mentre quello orizzontale ha una lunghezza pari a xB. L'ipotenusa AB si ricava dal teorema di Pitagora:

AB² = AO² + OB² = xB² + yA²

Ma AB è uguale alla somma di a e b, ossia:

x²/a² + y²/b² = (xB²+ yA²)/(a + b)² = (a + b)² /(a + b)² 

x²/a² + y²/b² = 1

Che è proprio l'equazione di un'ellisse con il centro nell'origine degli assi.

c.v.d.