La risoluzione del quiz su un "nuovo tipo" di operazione matematica, necessita di un certo grado di intuizione e di fantasia, più che di conoscenze specifiche di algebra.

Iniziamo introducendo una nuova operazione, il cui simbolo sia convenzionalmente §, tale che si possa definire nella seguente maniera:

A § B = A∙B + A + B

con A e B numeri reali.

Consideriamo, come caso specifico, che l’operatore § relazioni due termini che appartengono all’insieme dei numeri naturali positivi;

ora, dato che l’operazione § fornisce come risultato un prodotto ed una somma dei due termini relazionati, e poiché le operazioni di somma e prodotto godono entrambe sia della proprietà associativa che di quella commutativa, si dimostrerà utile verificare se lo stesso vale anche per l’operazione §.

Iniziamo relazionando tre numeri interi positivi qualsiasi a, b, c;

per la definizione generale si ha:

a § b = a·b + a + b

b § c = b·c + b + c

Verifichiamo se anche § gode della proprietà associativa e di quella commutativa:

a § (b § c) = a·(b·c + b + c) + a + (b·c + b + c) =

a·b·c + a·b + a·c + a + b·c + b + c

e ordinando:

a·b·c + a·b + a·c + b·c + a + b + c      (1)

cambiamo i termini associati:

(a § b) § c = (a·b + a + b)·c + (a·b + a + b) + c =

= a·b·c + a·c + b·c + a·b + a + b + c

e ordinando:

a·b·c + a·b + a·c + b·c + a + b + c      (2)

scambiamo di posto 2 elementi e associamo:

(a § c) § b = (a·c + a + c) ·b + (a·c + a + c) + b =

= a·b·c + a·b + b·c + a·c + a + c + b

e ordinando:

a·b·c + a·b + a·c + b·c + a + b + c    (3)

Come si può vedere, la (1), la (2) e la (3) sono uguali; quindi, le proprietà associativa e commutativa valgono entrambe per questo tipo di operazione.

Proviamo con un esempio numerico scegliendo tre valori a, b, c interi positivi qualunque:

a = 4  ;  b = 7  ;  c = 9    →

4 § 7 = 4·7+4+7 = 39

7 § 9 =7·9+7+9 = 79

4 § 9 = 4∙9+4+9 = 49

 

4 § (7 § 9) = 4·79+4+79 = 399

(4 § 7) § 9 = 39·9+39+9 = 399

(4 § 9) § 7 = 49∙7+49+7 = 399

Bene, adesso, utilizzando la proprietà associativa dell’operazione §, proviamo a sostituire i valori numerici interi sequenziali dettati dal quiz:

1 § 2 = 1·2+1+2 = 5

(1 § 2) § 3 = 5 § 3 = 5·3+5+3 = 23

(1 § 2 § 3) § 4 = 23 § 4 = 23·4+23+4 = 119

(1 § 2 § 3 § 4) § 5 =119 § 5 = 119·5+119+5 = 719

e così via.

Focalizzando l’attenzione sul primo e sull’ultimo termine, riscriviamo le righe precedenti indicando con n il numero degli elementi consecutivi relazionati, ovvero il valore del termine immediatamente alla destra del simbolo di operazione §:

n = 2

1 § 2 = 1·2+1+2 = 5                    →        5 = 6 – 1 = 3! – 1

 

n = 3

5 § 3 = 5·3+5+3 = 23                →     23 = 24 – 1 = 4! – 1

 

n = 4

23 § 4 = 23·4+23+4 = 119       →    119 = 120 – 1 = 5! – 1

 

n = 5

119 § 5 = 119·5+119+5 = 719    →    719 = 720 – 1 = 6! – 1

e così via.

Allora se consideriamo il k-esimo termine, indicando con R(k) la relazione § tra i primi k termini interi positivi consecutivi, si può scrivere:

R(k) = (k! – 1) § k = (k! – 1)·k + (k! – 1) + k =

= k·k! – k + k! – 1 + k =

= k·k! + k! – 1 =

= k! · (k + 1) – 1             (4)

 

Ma  k! · (k + 1) = (k + 1)!    dato che:

k! = 1×2×3×…..×k

quindi

k! ∙ (k + 1) = 1×2×3×…..×k×(k + 1) = (k + 1)!

(ad esempio, se k è uguale a 27 si ha: 27! × 28 = 28 × 27! = 28×27×26×….×2×1 = 28!)

per cui la (4) diventa:

R(k) = (k+1)! – 1

e per k = n = 100:

R(100) = 1 § 2 § (3 § (4 § …. § (99 § (100)))) =

= (1 § 2 § 3 § …. § 98 § 99) § 100 =

= (100 § 99 § 98 § ….§ 2) § 1 =

= (100+1)! – 1 = 101! – 1

 

 

 

 

APPENDICE

Ho voluto aggiungere questa appendice di carattere specificatamente “calcolatorio/numerico” per vedere se è possibile riuscire a “domare”, in qualche maniera, quantità numeriche che appaiono poco “maneggiabili”, attraverso l’utilizzo di un potente strumento algebrico: il logaritmo.

Se, per curiosità, si volesse stimare il valore del numero 101! – 1, si potrebbe operare in questa maniera:

si pone il valore da stimare uguale ad un certo numero x

101! – 1 = x

dopodiché si applica il logaritmo a base 10 ad ambo i membri (si potrebbe scegliere per base qualunque numero, ma il 10 risulta più “masticabile” nonché più opportuno rispetto ad altri valori):

Log(101! – 1) = Log(x)

Ma dato che 101! è un numero molto grande, sottrarre da questo un’unita, altera in maniera pressoché insignificante il suo valore quantitativo, per cui si può porre:

Log(101! – 1) ≈ Log(101!)

Il numero 101 fattoriale equivale a:

101! = 1×2×3×4×….×99×100×101

Allora il logaritmo di questo numero si può scrivere come:

Log(101!) = Log(1×2×3×4×….×99×100×101)

Se l’argomento di un logaritmo è composto dal prodotto di due o più termini, il logaritmo stesso equivale alla somma dei logaritmi dei singoli termini:

Log(101!) = Log(1) + Log(2) + Log(3) + Log(4) + ….+ Log(99) + Log(100) + Log(101)

Ovvero:

Armandosi di pazienza certosina, anche con il solo utilizzo delle tavole dei logaritmi di antica memoria (malgrado la dilagante mania nell’affidarsi all’ IA), non è necessario calcolare 101 termini logaritmici, (già so che i logaritmi di 1, 10, 100 valgono rispettivamente 0, 1, 2) ma è sufficiente conoscere solo il logaritmo di tutti i numeri primi compresi tra 2 e 101, in quanto il logaritmo dei numeri composti (ivi comprese le potenze), sommandosi tra loro, formano dei “blocchi” singoli sommabili.

( es.: Log(15)=Log(3)+Log(5) , Log(36)=2Log(2)+2Log(3) , il logaritmo dei multipli di 10, etc. )

Tutto ciò produrrà che:

Log(101!) ≈ 159,974

Quindi: x ≈ 10^159,974 = 10¹⁵⁹ × 10^0.974

(somma degli esponenti del prodotto di potenze con base uguale)

Ma 10^0,974 ≈ 9,42 e in definitiva:

x = 101! ≈ 9,42 × 10¹⁵⁹

Volendo fare i calcoli in maniera più spicciola, 0,974 è una quantità abbastanza prossima ad 1 (avvicinandosi da sinistra, vale 1 millesimo meno di 39/40) e quindi 10 alla quasi 1⁻ darà 9 e qualcosa. Se prendessimo come riferimento un valore interno tra 9 e 10 equidistante dagli estremi, ad esempio 9,5 = 19/2, il logaritmo decimale di 19/2 equivale alla differenza tra logaritmo decimale di 19 e logaritmo decimale di 2; dalle tavole logaritmiche (sino alla quinta decimale):

 Log(19) ≈ 1,27875    ;    Log( 2) ≈ 0,30103

≈1,27875  –  ≈0,30103 ≈ 0,97772 che è maggiore di 0,974,

confermando che 10 alla 0,974 è qualcosina meno di 9,5.

 

Con una stima molto più raffinata:

101! ≈ 9,42594775983835942….×10¹⁵⁹

 

Per concludere, due cose sono certe:

• il numero 101! – 1 è dispari, come tutti i numeri (n+1)! – 1, dato che il fattoriale di un numero ≥ 2 è sempre pari;
• è composto da 160 cifre (il valore dell’esponente più 1 della potenza base 10,in questo caso 159+1=160).

 

 

P.S.

Per alcuni calcoli esponenziali di questa appendice mi sono avvalso dell’ausilio di una calcolatrice scientifica avanzata, sotto forma di applicazione per smartphone, che uso già da alcuni anni (da prima dell’esplosione pubblicitaria della IA), anche se sarebbe stato possibile effettuare gli stessi con una vecchia Texas Instruments degli anni ’80 di scolastica memoria, di quelle con il display a 8 caratteri tutti illuminati in rosso! ; mentre per i restanti, compresi anche i passaggi algebrici necessari per la risoluzione del quiz,  ho fatto uso – o perlomeno ho tentato di farlo - della IU (Intelligenza Umana)…