Conosciamo tutti il numero di Nepero e, chiamato e dal solito immenso Eulero, forse solo perché e è l'iniziale di esponenziale o addirittura perché aveva già usato le lettere precedenti. Non certo perché era l'iniziale del suo nome, dato che il grande matematico era estremamente modesto.. Un numero irrazionale, tale che i suoi decimali sono infiniti e non si ripetono mai secondo schemi particolari. Un numero veramente assurdo, a prima vista. Perché mai dare così tanta importanza a un numero così difficilmente trattabile? Addirittura è stato scelto da Eulero come base per i logaritmi naturali, proprio perché e è una delle costanti più utilizzate dalla Natura. Insomma è un numero veramente NATURALE.

Sembrerebbe davvero impossibile che la Natura abbia scelto un numero così difficile da scrivere (attenzione, però, che i numeri sono una nostra creazione...). Esso viene quasi sempre associato al logaritmo o all'esponenziale e crea subito un'apparenza di artificio matematico.

Invece, esso identifica uno dei processi naturali più comuni se non proprio il più comune: la crescita. Tutto, o quasi tutto, continua a crescere nell'Universo. Un esempio fra i tanti: la crescita dei batteri.

Pensiamo in termini naturali: ammettiamo di avere un filo d'erba. Imponiamo un ritmo di crescita veramente semplice: ogni sua piccolissima parte si raddoppia in un certo tempo. Ne segue che dopo un certo tempo t la lunghezza si è raddoppiata. Punto e a capo. Invece no! Mano a mano che il filo d'erba si allunga vi sono sempre più parti di esso che devono raddoppiare. In altre parole bisogna tener conto della lunghezza che si va ad aggiungere a quella iniziale.

Per essere ancora più semplici e intuitivi conviene proprio usare come esempio il problema che si era posto Bernoulli, un esempio "finanziario"

Prima di iniziare nella semplice spiegazione (che è poi l'interesse composto) notiamo che uno dei grandi problemi per la scarsa comprensibilità del reale significato di e è dato dalla impossibilità di poterlo vedere geometricamente. Ad esempio, se consideriamo il pi greco, possiamo subito definirlo come il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio. Qualcosa di veramente intuitivo. Per il numero e le cose si complicano, dato che rimane un qualcosa di puramente matematico e viene molto spesso definito solo attraverso la sua rappresentazione sotto forma di serie, argomento ben meno comune e semplice della geometria.

Iniziamo, allora, seguendo l'approccio di Bernoulli semplificato.

Immaginiamo di avere un euro e di investirlo mettendolo in una certa banca. Una banca veramente vantaggiosa, dato che offre un interesse annuo del 100%. In altre parole, dopo un anno, invece di un euro ce ne troviamo due. Vi è però un'altra banca che ci offre un interesse del 50% ogni sei mesi... Cosa dobbiamo preferire? Basta fare un conticino veramente banale.

Mettiamo un euro in banca; dopo sei mesi ci viene accreditato il 50%, ossia mezzo euro. In quel momento abbiamo 1.5 euro. Nei sei mesi rimanenti maturiamo un ulteriore 50% d'interesse. Sì, ma l'interesse deve essere calcolato non sull'euro di partenza, ma sull'euro e mezzo che si è raggiunto dopo i primi sei mesi. Ne risulta un'interesse del 50% di 1.5 euro che corrisponde a 0.75 euro, che vanno sommati all'1.5. Totale 2. 25 euro.

Una terza banca, però, offre una soluzione ancora diversa e, sicuramente, più promettente: ci offre un'interesse di 1/12 di euro al mese. Facciamo i conti chiamando C0, C1,...,Cn il capitale mese per mese e I1,I2,..., In l'interesse maturato mese per mese.

C0 = 1

dopo 1 mese

I1 = 1/12 C0                    C1 = Co + 1/12 C0

dopo 2 mesi

I2 = 1/12 C1 = 1/12(C0 + 1/12 C0)

C2 = C1 + 1/12(Co + 1/12 C0) = C0 + 1/12C0  + 1/12(C0 + 1/12 C0) = C0(1 + 1/12 + 1/12 +(1/12)²) =  C0 (1 + 1/12)²

....

Cn = C0 (1 + 1/12)ⁿ

La formula si ripete ogni mese e alla fine dell'anno abbiamo un capitale di

C12 = C0 (1 + 1/12)¹² = (1 + 1/12)¹² = 2.61 euro

Sappiamo come sono le banche... ed ecco che una quarta banca offre l'interesse di 1/52 alla settimana.

La formula è sempre la stessa e dopo un anno abbiamo un capitale

C52 = (1 + 1/52)⁵² = 2.69 euro

Ovviamente una quinta banca va ancora oltre e ci offre 1/365 al giorno...

C365 = (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2.71 euro

E' difficile ottenere di più, ma teoricamente sarebbe fattibile: basterebbe pagare gli interessi ogni minuto o addirittura ogni secondo e il capitale crescerebbe ancora, anche se di poco.

Possiamo permetterci di scrivere quanto dimostrato in termini puramente matematici, ipotizzando che l'intervallo di tempo necessario ad avere un interesse che si somma al capitale sia sempre più piccolo. Ciò vuole anche dire che n deve tendere a infinito. Ossia:

C = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e

Fatta una conoscenza più stretta con il numero e e avendo compreso che la stranezza è quanto di più naturale ci sia, possiamo permetterci di considerarlo irrazionale senza storcere il naso. Perché, allora, non dimostrare in modo rapido anche la sua irrazionalità? Vi sono molti modi per farlo, ma noi usiamo il più rapido e comprensibile.

Conosciamo un altro modo per scrivere il numero e, utilizzando la serie di Mc Laurin per la funzione e^x (QUI):

e^x =1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/ 4! + … = Σ^∞_n=0 xⁿ/n!

Ponendo x = 1 otteniamo proprio il numero e:

e =  1 + 1/1! + 1/2! + .... + 1/(n-1)! + 1/n! + 1/(n + 1)! + 1/(n + 2)!

Questa seconda formula ci permette di dimostrare molto velocemente che il numero e è irrazionale.

Immaginiamo che non lo sia. Se così fosse e potrebbe scriversi come

e = m/n

con m e n numeri interi e n maggiore di 1 dato che e non può essere un intero.

Moltiplichiamo ambo i membri per n!

n!e = n! + n! + n!/2! + .... + n!/(n-1)! + n!/n! + n!/(n + 1)! + n!/(n + 2)!

n!e deve essere un intero. Vediamo se lo è anche il secondo membro...

n! = n(n-1)(n-2)....(2)(1)

Per cui

n!/2! deve essere intero

e così via fino a n!/n!.

Andiamo oltre...

n!/(n + 1)! = n !/(n + 1) n! = 1/(n + 1)

n!/(n + 2) = 1/(n+1)(n+2)

e via dicendo...

Abbiamo perciò la serie

1/(n + 1) + 1/(n +1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ...

Sappiamo, però, che la serie

1/2 + 1/2² + 1/2³ + ....

Converge al valore 1.

Sapendo che n deve essere maggiore di 2, come già detto precedentemente, ne segue che la parte destra del secondo membro deve essere minore di 1. Se ne conclude che un numero intero risulta uguale a un numero intero più una quantità minore di 1. In altre parole, il membro di destra NON può essere un intero, per cui e non può essere scritto come m/n, ossia è un numero irrazionale.