Categorie: Matematica
Tags: geometria quadratura cerchio quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:30
Ottenuta la quadratura del cerchio !*
La domanda che vi faccio farebbe rizzare i capelli in testa ad Euclide e ad Archimede (ma non solo...).
Consideriamo un piano e le solite coordinate x e y ortogonali tra loro. La domanda è veramente banale:
Disegnare un quadrato che abbia il perimetro esattamente uguale a una circonferenza di raggio r.
Vi posso solo dire che la soluzione è quasi IMMEDIATA. Ovviamente non si può far ricorso a spirali, ad altre curve o strumenti più o meno complicati (nemmeno al compasso!) ...
Come fare?
L'asterisco unico si riferisce alla difficoltà di costruzione. Di ben diversa difficoltà è la spiegazione del come e perché.
P.S.: Un divertente inizio per un argomento altrettanto divertente...
30 commenti
La lunghezza del lato del quadrato dovrebbe essere: L = Π*r/4, ma non so se ho capito bene l'esercizio
caro SMA,
nella tua formula c'è un numero che NON può essere preciso, ossia il π... Io invece chiedo di tracciare un quadrato in modo esattissimo. Ossia, rettificare perfettamente la circonferenza.
Non provo neanche a pensare ad una soluzione geometrica cercata per secoli se non millenni e si dice che neanche possa esistere.
Una soluzione analitica conterrebbe inevitabilmente il pi greco.
Che altro si può pensare?
Forse una soluzione pratica potrebbe essere questa.
Sovrappongo uno spago alla circonferenza (facile a dirsi, ma difficile a farsi). Poi piego in 4 lo spago ed ottengo i 4 lati del quadrato che cerchiamo.
Un'altra soluzione potrebbe essere di tipo simulativo.
Considero il quadrato di raggio 2r che circoscrive la circonferenza. Assumo che la circonferenza sia centrata all'origine degli assi. Estraggo due numeri casuali compresi tra -r e +r ed assumo che siano le coordinate (x,y) di un punto. Posiziono il punto sul piano e verifico se è contenuto nella circonferenza. Se dopo un numero elevato N di estrazione, il numero di punti interni alla circonferenza è M, allora il lato del quadrato che cerchiamo sarà l=sqrt(M/N)*2*r.
Non è totalmente precisa, ma non usa il numero pi greco.
E' sufficiente costruire un meccanismo biella-maniovella ove la biella , lunga r, si muove circolarmente da un angolo 0 a pi/2 . La manovella, imperniata lungo un asse orizzontale passante per il centro del cerchio , percorre un tratto rettilineo pari esattamente ad 1/4 di circonferenza. Esso costituirà il lato del quadrato.
Altra soluzione non matematica potrebbe essere quella della peso. Supponendo che la circonferenza sia disegnata su un foglio di carta o cartoncino. Ritaglio il quadrato che circoscrive la circonferenza e lo peso. Ritaglio dal quadrato il cerchio iscritto e lo peso. Il lato del quadrato cercato sarà l=sqrt(peso cerchio/peso quadrato)*2*r
Evoluzioni della soluzione dello spago forse più banali.
Ritagliare il cerchio su un materiale rigido. Segnare un punto sulla circonferenza e metterlo a contatto con una superficie piana. Segnare sul piano il punto di contatto. Rotolare il cerchio, senza farlo scivolare, fino a che il punto segnato sul cerchio non tocchi nuovamente la superficie piana. Segnare il punto sul piano. Il lato del quadrato sarà 1/4 della distanza tra i punti segnati sul piano.
Cosa simile può essere fatta con una carrucola di raggio r misurando di quanto si è srotolato il cavo.
Mi dispiace cari amici, ma sono tutti metodi troppo elaborati e/o bisognosi di "tecnologia". Dovete riuscire a farlo in modo immediato e precisissimo... Alla fine, però, non prendetemi a calci
Vabbè sparo anch'io la mia assurda ipotesi.
Prendo uno spago a cui lego una matita.
Lego lo spago a x=0 e y=0 centro assi cartesiani.
Poi con la matita segno un punto che ha la dimensione fisica della punta della matita, accanto a quel "punto" segno il seguente facendolo coincidere con il limite del punto precedente (che fisicamente è un piccolissimo cerchio), fino a disegnare l'intera circonferenza.
Ora contando il numero dei punti tracciati lo divido per quattro ed ottengo le dimensioni in punti del lato del quadrato.
Se il numero di punti della circonferenza non è divisibile per quattro, rifaccio la punta alla matita (cosi cambiano le dimensioni fisiche di ogni punto tracciato) e riprovo.
In alternativa telefono a Enzo e gli chiedo cone diavolo si esce da questo rompicapo..
aspetto la telefonata ...
un piccolo aiuto...
pensate bene alla definizione di circonferenza e di quadrato...
Disegno un quadrato con lato pari alla circonferenza di raggio r. Si può fare?
Divido in 4 tracciando le diagonali ecc.. Di nuovo in 4.
Non ricordo bene, il righello è permesso.
E' proprio quello che si chiede... disegnare un segmento di lunghezza uguale alla circonferenza. Ma la circonferenza non ha una misura esatta come si richiede. Come fare ad avere una circonferenza esattamente divisibile per 4?
E se si rotasse la circonferenza di 1/4 di giro?
Mi spiego meglio:
prendendo come riferimento un sistema di assi cartesiani xOy e disegnando una circonferenza di raggio qualunque tangente all'origine degli assi, si fa "idealmente" ruotare la circonferenza in un determinato verso:
La circonferenza tratteggiata in arancione è la stessa di quella nera di partenza, ruotata verso destra lungo l'asse delle x di 1/4 di giro; la distanza coperta in questo quarto di rotazione è un quarto della lunghezza totale della circonferenza, che è anche la distanza tra i due centri delle circonferenze gemelle nera e arancione.
Il quadrato costruito su tale distanza possiede il perimetro di uguale lunghezza della circonferenza.
devi, comunque, far ruotare la circonferenza e quando ti fermi ? Devi conoscere pi greco... Sempre che abbia compreso bene... A che velocità ruota la circonferenza?
Non mi torna... altrimenti l'avrebbe usata Archimede
Geometricamente come fai a disegnare la seconda circonferenza? Devi manualmente far ruotare la prima. E' un sistema meccanico... e non puramente geometrico.
Se fossi come dici tu, facendo fare un giro completo misureresti la lunghezza della circonferenza. Il che non è vero...
Scusa Enzo,
ma dalla posizione di partenza, facendo fare un giro completo, la punta del raggio disegna sul piano una cicloide, ma la "base" della cicloide è lunga quanto la circonferenza...
Ho capito, hai ragione... Tuttavia resta una soluzione meccanica. E se non ruotasse perfettamente? Insomma, ottima idea, ma non è quello che pensavo... Infatti, non è stata considerata mai come soluzione geometrica, per quanto io sappia.
E' anche una soluzione pensata da Thomas Elzner...
Sei sempre più che ingegnoso caro Andy! Ma non possiamo ammettere un'operazione di rotolamento...
Caro Enzo,
tagliamo la testa al toro e pensiamo ad un "piano B" di tipo analitico/geometrico:
Affinché circonferenza e quadrato abbiano lo stesso perimetro, deve vigere la seguente eguaglianza:
2πr = 4a
con a = lato del quadrato.
Ma dato che nel quesito si richiede la misura esatta del lato del quadrato (ma non quella del raggio), esplicitando il raggio r in funzione del lato a:
r = (2 / π)·a
cioè r varia linearmente rispetto ad a, o ciò che è lo stesso, la funzione r = (2 / π)·a rappresenta una retta passante per l'origine in un sistema di assi cartesiani con r in ordinata e a in ascissa.
Sull'asse delle a posso rappresentare un segmento di valore e misura esatta (ad esempio un qualunque numero intero) e si questo costruire un quadrato, mentre la corrispondente ordinata nel punto rappresenta il raggio di una circonferenza di uguale perimetro:
Graficamente, l'ordinata (il raggio) è una misura approssimata, ma analiticamente il suo valore è esatto
(2/π) × (lato del quadrato)...
Ho posto sicuramente male la domanda... mettiamola così: stabilire esattamente sia lunghezza della circonferenza che perimetro del cerchio. Per tracciare la tua retta non devi conoscere pi greco?
Comunque, appena posso spiegherò meglio che cosa intendevo con la mia richiesta che praticamente voleva dire quadrare il cerchio o, se preferite, rendere pi greco un numero esatto.
caro Andy,
comunque la vuoi girare, disegnare una circonferenza in modo perfetto è impossibile e così diventa impossibile anche dividerla esattamente per quattro. Non puoi scappare dal pi greco. Puoi approssimare quanto vuoi il risultato, ma esso è un problema che ha dei limiti di precisione. Il nostro problema vuole invece che la circonferenza sia divisibile esattamente per quattro in modo da poter costruire un quadrato di lunghezza perfettamente uguale alla circonferenza.
Non rimane che farlo per legge come provò a fare il parlamento dell'Indiana (USA), vedi qui. Magari i lungimiranti politici nostrani lo approvano per andare incontro agli studenti che trovano troppo difficile l'attuale pi greco.
Allora chiedo aiuto ai papalli, posizionati intorno alla circoferenza, sopra, sotto a destra e a sinistra che con il raggio colpiscono la circonferenza fino a ridurla a un quadrato, ottenendo la quadratura del cerchio
Caro Sig. Vincenzo,
girovagando per il web arrivo per caso qui da "Voi" e senza nessuna pretesa tranne quella di essere un novello del forum cerco di spiegare la mia idea di "quadratura" di un cerchio di raggio r.
Utilizzo un anello di filo inestensibile (indeformabile in lunghezza se volete) di spessore ridotto (o se permettete irrilevante rispetto alle dimensioni totali dello stesso).
La dimensione dello stesso potrà essere pari a quella richiesta o semplicemente qualsiasi (in ogni caso rappresenterà lo sviluppo della circonferenza di partenza).
Con due semplici operazioni porto a coincidere le due porzioni di filo stirando ("schiacciando") da due estremi fino a farne combaciare gli spezzoni, poi nuovamente ripeto l'operazione affinchè le due porzioni di "doppio filo" nuovamente combacino perfettamente.
La dimensione di queste 4 porzioni del filo iniziale corrisponderanno a quella del quadrato di perimetro equivalente.
Tale dimensione potrà essere appuntata sul "piano con le solite coordinate x e y" fornite dal testo, per cui rispettando l'ortogonalità avrò la possibilità di riportarla sul sistema di riferimento delle coordinate a disposizione (lungo asse x e lungo asse y) ... cocludendo l'operazione con una spero banale e permessa gestualità grafica che utilizzi il parallelismo o in mancanza della quale ripetende le operazioni precedenti a partire dai due punti precedentemente segnati
Spero di aver offeso nessuno con la mia semplicità risolutiva, dettata semplicemente dalla semplicità pratica che spesso viene richiesta dalla mia professione.
Saluto Domenico
caro Domenico,
il problema irrisolto consiste nell'utilizzare solo riga e compasso molle, per cui non è ammessa nessuna operazione meccanica né l'introduzione di curve aggiuntive.
Chiedo scusa quali sarebbero dunque i soli strumenti utilizzabili? ... e quando parla di compasso molle, cosa dovrei intendere? ... sono un novello, ma speranzoso ed oramai "contagiato".
caro Domenico,
se vai nell'archivio e cerchi "antichi greci" è tutto spiegato. In poche parole, la riga deve essere utilizzata solo per tracciare rette e non per prendere misure. Il compasso serve solo per fare cerchi, ma non per riportare delle misure. "Molle" significa che dopo aver tracciato il cerchio torna nella posizione di riposo senza ricordare il raggio del cerchio appena disegnato.