Abbiamo già descritto la regola di Ruffini e, in particolare, il suo teorema. Esso dice: "Un polinomio di grado n è divisibile perfettamente per un altro polinomio di primo grado se e solo se la radice del polinomio di primo grado soddisfa il polinomio di grado superiore". In parole più semplici  esso ci dice che un polinomio di grado n può essere scritto come prodotto di n polinomi di primo grado che abbiano ognuno come radici quelle del polinomio di partenza. In parole matematiche, ancora più semplici:

∑_{i = 0} ⁿ a_i xⁱ = a_n ∏_{j =0}ⁿ (x - x_j)

Non spaventatevi! La scrittura matematicamente molto sintetica vuol solo dire che:

a_ox⁰ - a₁x¹ + a₂x² + .... + a_n xⁿ = a_n(x - x₁) (x- x₂) (x - x₃) ....(x - x_n)

A primo membro abbiamo un generico polinomio di grado n, mentre al secondo abbiamo i prodotti dei monomi (x - x_j) moltiplicati per a_n. Ovviamente, a_i sono i coefficienti del polinomio e x_j le sue radici. Il fatto che il loro numero sia  sempre uguale a n vuol dire che la scrittura contempla anche le soluzioni complesse.

Per non appesantire inutilmente la trattazione, limitiamoci a un polinomio di secondo grado. Procedimento analogo vale anche per gradi più elevati qualsiasi.

a₂ x²+ a₁x + a₀  = a₂(x - x₁)(x - x₂)

Possiamo tranquillamente svolgere i calcoli, mantenendo, ovviamente, l'uguaglianza

a₂x² + a₁x + a₀ = a₂x²- a₂xx₂ -a₂xx₁ + a₂x₁x₂

a₂x² + a₁x + a₀ = a₂x²- a₂x(x₂ + x₁) + a₂x₁x₂

Per essere valida, dobbiamo uguagliare i coefficienti  delle varie potenze di x, ossia:

a₁ = - a₂(x₂ + x₁)

a₀ = a₂x₁x₂

da cui

x₂ + x₁ = - a₁/a₂

x₁x₂ = a₀/a₂

N.B.: Notiamo che potremmo anche scrivere

a₁/a₀ = - (x₂ + x₁)/x₁x₂ = - (1/x₁ + 1/x₂) 

Questa scrittura sarà fondamentale per un prossimo articolo dedicato al celeberrimo Problema di Basilea, in cui vi è, come sempre, lo zampino geniale di Eulero.

Il risultato è qualcosa di estremamente utile ed è conosciuto piuttosto bene per la soluzione delle equazioni di secondo grado Esso dimostra che la somma delle radici non è altri che il rapporto tra i coefficienti dei termini in x e in x², cambiato di segno, mentre il prodotto delle radici è il rapporto tra il termine noto e il coefficiente del termine x².

Per rendere il tutto più ovvio, utilizziamo i coefficienti letterari normalmente usati nelle equazioni di secondo grado:

ax² + bx + c

Quanto detto prima porta a dire che le radici del polinomio si ricavano dal semplice sistemino:

x₁ + x₂ = - b/a

x₁x₂ = c/a

Esso ci permette di calcolare somma e prodotto delle radici senza risolvere l'equazione

ax² + bx + c = 0

Queste formule sono probabilmente conosciute da tutti, ma il fatto più importante è che esse sono generalizzabili per un polinomio di grado n qualsiasi...

Semplifichiamo la trattazione ponendo il coefficiente del termine di grado più alto uguale a 1. Questo è sempre possibile farlo dividendo ogni coefficiente per tale termine. Possiamo perciò ridurci a polinomi del tipo

xⁿ + a_n-1 x^{n -1} + a_n-2 x^n-2 +    + a_o = 0

dove i nuovi a_i non sono altro che a_i/a_n.

Nel caso del polinomio di secondo grado

x² + a₁x + a₀

otteniamo

x₁ + x₂ = - a₁

x₁x₂ = a₀

 

In generale (basta sviluppare i calcoli per n qualsiasi), valgono le formule di Viete, matematico francese del XVI secolo):

x₁ + x₂ + x₃ + .... + x_n = - a_{n - 1}

x₁x₂ + x₁x₃ + ... +  x₁x_n + x₂x₃ + x₂x₄ + ... + x₂x_n + x₃x₄ +... +  x₃xn + ... + x_n-1 x_n = a_n-2

x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + ... + x₂x₃x₄ + x₂x₃x₅ + ... + x_n-2 x_n-1 x_n = - a_n-3

.....

x₁x₂x₃...x_n = +/- a₀ = (-1)ⁿ a_o

Scriviamo anche il risultato del Nota Bene precedente nel caso generale:

a₁/a₀ = - (1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ + ... + 1/x_n)

Quando si applicano? Teoricamente si potrebbe risolvere il sistema e calcolare le radici del polinomio. Non è però operazione banale e la formula di Viete generalizzata si usa spesso per affrontare problemi da "olimpiadi". Noi non vogliamo, almeno per adesso, introdurre questo tipo di problematica che, in fondo, è essenzialmente un puro "gioco" matematico. Abbiamo, invece, bisogno della formula di Viete per metterci nei panni di Eulero e risolvere il celebre problema di Basilea.