Categorie: Matematica
Tags: Euclide geometria quiz riga non graduata
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:11
(QI) Sfidiamo Euclide **
Solo riga non graduata e compasso "molle": un imperativo per gli antichi greci! Attraverso la geometria del tassista siamo riusciti a quadrare un cerchio, rendendo razionale e intero il pi greco. Oggi proponiamo un piccolo quiz ad Euclide disegnando una retta r e un segmento AB parallelo alla retta Non chiedetemi come è stato ottenuto il parallelismo, ma fatto sta che ci siamo riusciti (noi potevamo usare il compasso...). Adesso, diamo ad Euclide soltanto la riga non graduata e gli chiediamo di dividere il segmento AB in sette parti perfettamente uguali, qualsiasi sia la sua posizione e la sua lunghezza.
Ovviamente, cercate di fare lo stesso anche voi, ricordando che Euclide non era uno sciocco, per cui dovete essere rapidi per ottenere il risultato prima di lui!
Prego i più bravi di attendere un paio di giorni...
11 commenti
Vogliamo proprio far vincere Euclide ?! Forza, via libera ai più esperti
Un tentativo potrebbe essere il seguente:
data una retta (che chiamo r) ed un segmento (che chiamo AB) di dimensione qualsiasi posto in posizione qualsiasi rispetto alla retta r, con l’unica condizione di essere parallelo alla retta descritta poc’anzi, posiziono il righello non graduato – che è a tutti gli effetti un rettangolo – con un’angolazione qualunque, su una parte qualunque della retta r.
Traccio due linee seguendo i lati lunghi del rettangolo, che intercettano il punto A’ (tacca 1) e il successivo (tacca 2).
Faccio scorrere il righello lungo la retta verso destra, e lo colloco perfettamente allineato con il lato lungo di sinistra sulla linea disegnata in precedenza che intercetta tacca 2, e traccio la linea che intercetta tacca 3.
Proseguo con lo stesso metodo sino a individuare tacca 8.
Scelgo un punto qualunque A’’ a destra della tacca 8 sulla retta r e lo unisco con A (segmento diagonale rosso AA’’);
unisco A con A’ (segmento verde) e posiziono il righello con un lato perfettamente allineato al segmento AA’ e un vertice in A;
dal lato consecutivo, traccio la retta s (che è quindi perpendicolare ad AA’) e facendo scorrere il righello lungo s, traccio le linee passanti per le tacche da 2 a 8 (linee verdi parallele tra loro) che intercettano la diagonale rossa AA’’ in 7 punti;
unisco B con il punto di intersezione tra la linea verde passante per tacca 8 con la linea rossa AA’’, determinando il punto B’;
con il righello posizionato con un lato lungo il segmento BB’ e un vertice in B, traccio la retta t allineata con il lato consecutivo del righello (quindi t è perpendicolare a BB’);
facendo scorrere il righello lungo la retta retta t, con il lato corto perfettamente allineato su quest’ultima, traccio le linee per ogni punto di intersezione dei segmenti verdi con la diagonale rossa:
il segmento AB viene così suddiviso in 7 parti uguali tra loro.
caro Andy,
la riga non graduata diventerebbe una specie di compasso, capace di dividere in parti uguali... No, immagina che la riga abbia spessore trascurabile... La sua forma rettangolare non può essere usata come distanziatore di rette.
Sono abbastanza sorpreso sulle difficoltà incontrate in questo quiz... Un piccolo (grande) aiuto:
Ricordiamo (o ricaviamo) una proprietà dei trapezi qualsiasi...
Vediamo così.
Sulla retta, tramite il compasso aperto ad un fissato raggio, traccio gli estremi di 7 segmenti uguali adiacenti.
Traccio due rette che collegano gli estremi del segmento dato con i “corrispondenti” estremi del 7-segmento costruito con il compasso.
Se non sono sfortunato (nel caso ci riprovo) le due rette si incontrano in un punto.
Da questo traccio le rette per i punti interni del 7-segmento che divideranno in 7 parti il segmento dato.
Okkei. Avevo letto troopo superficialmente il testo.
Adesso non ho tempo per fare i disegni, ma vi sottopongo l'idea di fondo (devo verificarla ancora, in effetti).
Usando prorpietà proiettive si crea un 8-segmento sulla retta, dividendo in successive metà il segmento dato.
Questo sostituisce la parte che ho descritto prima "abusando" del compasso che non abbiamo.
Il resto come sopra
Sia B'C' il segmento dato e BC la retta data parallela. Da un punto A proiettiamo B'C' su BC.
La retta per A e per il punto comune a B'C e CB' passa per il punto medio M di BC (la figura allegata contiene la prova di questo).
Ripetendo l'operazione un numero sufficiente di volte si determinano i punti medi di BM e CM e i punti medi dei segmenti così ottenuti, fino ad arrivare a dividere BC in 8 parti uguali.
Disegnare due rette passanti per i vertici del segmento (con qualsiasi inclinazione purché si intersechino possibilmente con un angolo adeguato - non troppo piccolo e nemmeno troppo grande - per evitare errori grafici)
Procedere con linee di costruzione in successione:
GIALLO
VERDE
ROSSO
MAGENTA
BLU
La divisione in 7 è servita.
Bye
Un modo diverso ( forse più semplice rispetto a quello indicato in precedenza, in cui si divide il segmento in 2^k parti – ad esempio 2^3=8- e poi si “usano” solo una parte di questi sotto-segmenti: 7 nel nostro caso) da seguire per ottenere n segmenti uguali è il seguente:
dato una retta e un segmento parallelo si determina il punto medio del segmento tracciando le rette come in figura (la spiegazione è quella già fornita)
Facendo uso di questo punto medio si determina un centro di proiezione si “raddoppia” il segmento CD anziché “dimezzarlo”.
L’operazione può essere ripetuta il numero di volte che servono.
Incidentalmente, fra le righe :), salta fuori la possibilità di tracciare una generica retta parallela per un punto dato alla retta data con la sola riga.
Ottime considerazioni sprmnt21